Pariton luku

Kokonaisluku on pariton, jos se ei ole jaollinen luvulla kaksi. Parittomuus oli alkujaan luonnollisen luvun ominaisuus, mutta kun negatiiviset luvut tulivat yleiseen käyttöön, laajennettiin sääntöä koskemaan myös niitä.

Parittomat luonnolliset luvut ovat $\{1,3,5,7,9,\dots \}$ ja parittomat kokonaisluvut ovat $\{\dots ,-5,-3,-1,1,3,5,7,9,\dots \}$. Nämä muodostavat luonnollisten- ja kokonaislukujen osajoukon.

Luvut, jotka eivät ole parittomia, ovat parillisia.

Formaaliset määritelmät

Parillisen luvun $q_{k}$ voi muodostaa lausekkeella $q_{k}=2k$, missä $k$ on luonnollinen luku. Jokaisen parillisen luvun edeltäjä ja seuraaja ovat parittomia lukuja. Parittoman luvun lauseke voi siten olla joko $p_{k}=2k-1$ tai $p_{k}=2k+1$. Jos tulkitaan $k$ järjestysluvuksi, voidaan ajatella $p_{k}$:n olevan $k$:nnes pariton luonnollinen luku. Esimerkiksi 93. pariton luku on $p_{93}=2\cdot 93+1=187$. Kun parittomien lukujen $p_{k}$ määritelmässä sallitaan myös $k$:ksi kokonaisluvut, saadaan parilliset kokonaisluvut. Tämän osajoukon mahtavuus on myös numeroituvasti ääretön.

Parittomien luonnollisten lukujen joukko on mahtavuudeltaan numeroituvasti ääretön, koska se on yhtä mahtava joukko kuin luonnolliset luvut. Annettu joukkojen välinen kuvaus $f(n)=2n+1$ on bijektio, mikä riittää perusteluksi.

Parillisuustestit

Luvun parillisuus voidaan tutkia hyödyntämällä lukujen ominaisuuksia. Pariton luku ei ole jaollinen kahdella, vaan siitä jää jakojäännökseksi 1. Esimerkiksi luku 21 jaetaan kahdella saadaan ${\frac {21}{2}}=10{\frac {1}{2}}$, missä jakojäännös on 1. Toisaalta, parillisella luvulla tulee olla tekijänä luku 2, mutta parittomalta luvulta se puuttuu. Lausekkeen parillisuuden tai parittomuuden voi tämän tiedon avulla tutkia.

Desimaalijärjestelmässä parittomalla kokonaisluvulla on viimeinen numeromerkki aina jokin luvuista 1, 3, 5, 7 tai 9. Tämän mukaan luku 234 on parillinen ja 1331 taas pariton.

Aritmetiikkaa

Kahden luvun laskutoimitukset vaikuttavat tuloksen parillisuuteen säännöllisillä tavoilla.

Kahden luvun summan ja erotuksen pariteetti voidaan päätellä siitä, saadaanko yhteiseksi tekijäksi luku 2:

• parillinen ± parillinen = parillinen, koska $2k\pm 2n=2(k\pm n)$
• pariton ± parillinen = pariton, koska $(2k+1)\pm 2n=2(k\pm n)+1$ ja lukua kaksi ei saada yhteiseksi tekijäksi.
• parillinen ± pariton = pariton, koska $(2k)\pm (2n+1)=2(k\pm n)\pm 1$ ja lukua kaksi ei saada yhteiseksi tekijäksi.
• pariton + pariton = parillinen, koska $(2k+1)+(2n+1)=2(k+n)+2=2(k+n+1)$
• pariton - pariton = parillinen, koska $(2k+1)-(2n+1)=2(k-n)-0=2(k-n)$

Kahden luvun tulon pariteetti voidaan päätellä samalla tavalla:

• parillinen $\cdot$ parillinen = parillinen, koska $2k\cdot 2n=4kn=2(2kn)$
• pariton $\cdot$ parillinen = parillinen, koska $(2k+1)\cdot 2n=2n(2k+1)$
• pariton $\cdot$ pariton = pariton, koska $(2k+1)\cdot (2n+1)=4kn+2(k+n)+1$ ja lukua kaksi ei saada yhteiseksi tekijäksi.

Kun jakolasku ei mene tasan, jolloin osamäärä on puhdas rationaaliluku, ei voida enää puhua parillisuudesta. Jos jakolasku menee tasan, jakaa nimittäjä $n$ osoittajan $m$ ja on siten eräs sen tekijä eli $m=pn$. Silloin

${\frac {m}{n}}={\frac {pn}{n}}=p$

ja osamäärän parittomuus riippuu ainoastaan osoittajan tekijästä $p$ eikä ollenkaan nimittäjästä $n$.

Lukuteorian tuloksia

Kun lasketaan parittomia lukuja yhteen 1 + 3 + 5 + 7 + ..., saadaan tulokseksi neliölukuja.

Jerusalemin lähellä noin 100 jaa. eläneen uuspythagoralaisen Nikomakhos Gerasalainen julkaisi kirjan Introductio arithmeticae, jossa hän esitti parittomilla luvuilla summajonon 1; 3 + 5; 7 + 9 + 11; 13 + 15 + 17 + 19; ... eli 1, 8, 27, 64,... Viimeiset luvut ovat ensimmäiset kuutioluvut. Edellinen lukujono on samalla parittomien lukujen summa, jonka arvo on neliöluku.

Seuraavat parittomien lukujen käänteislukujen sarjat suppenevat.

$1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+...={\frac {\pi }{4}}$

$1+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}+...={\frac {\pi ^{2}}{8}}$

$1+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+{\frac {1}{7^{4}}}+...={\frac {\pi ^{4}}{96}}$

$1+{\frac {1}{3^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+{\frac {1}{7^{6}}}+...={\frac {\pi ^{6}}{960}}$

$1-{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}-{\frac {1}{7^{3}}}+...={\frac {\pi ^{3}}{32}}$

$1+{\frac {1}{3^{3}}}-{\frac {1}{5^{3}}}+{\frac {1}{7^{3}}}-...={\frac {3\pi ^{3}{\sqrt {2}}}{128}}$

Historia

Muun muassa Abraham Seidenberg on esittänyt, laskeminen on voinut saada alkuunsa tarkkaan harkituista heimorituaaleista, missä suuren ihmisjoukon hallinta olisi vaatinut osanottajien laajempaa roolitusta. Melko pitkälle kehittyneiden seremonioiden hallinta on vaatinut osanottajien numerointia. Alkeellisesti elävien heimojen keskuudesta on havaittu laajalle levinnyt tapa, jossa osanottajat jaotellaan miehiin ja naisiin numeroimalla heidät parillisilla ja parittomilla luvuilla pareiksi. Samat heimot käyttävät 2-kantaista lukujärjestelmääkin muiden lukujärjestelmien rinnalla ja riitit saattavat olla tähän yhtenä syynä. Pythagoralaiset kuvasivat parillisia lukuja naisellisina ja parittomia miehisinä lukuina. .

Euklideen Elementan kirjassa XI, että ”luku on parillinen, jos se voidaan puolittaa”. Tämä alkeellinen määritelmä viittaa vanhaan tapaan hahmottaa luvut pikkukivillä, joita voitiin järjestellä kuvioiksi. Lukumäärää vastaava kivikasa voidaan siten puolittaa eli järjestää kahteen yhtä suureen kasaan. Antiikin kreikkalaiset eivät pitäneet lukua yksi parillisena tai parittomana lukuna. Lukuja yksi ja kaksi eivät olleet alkulukuja, sillä niitä pidettiin parillisten ja parittomien lukujen synnyttäjinä. Parittomia lukuja pidettiin ensisijaisina, koska pariton + pariton antoi parillisen luvun, mutta parillinen + parillinen antoi parillisen luvun.

Lähteet

• Fuchs, Walter R.: Matematiikka. Suomentanut Mattila, Pekka. Länsi-Saksa: Kirjayhtymä, 1968.
• Barrow John D.: Lukujen taivas. Suomentanut Vilikko, Risto. Smedjebacken, Ruotsi: Art House, 1999. ISBN 951-884-231-0
• Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osat I–II. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994.
• Spiegel, Murray R.: Mathematical Handbook of Formulas and Tables. New York: McGraw-Hill Book Company, 1968. (englanniksi)