PID-säädin

PID-säätimen lohkokaavio.

Proportional-integral-derivative-säädin, lyhyemmin PID-säädin, on yksi säätötekniikan perussäätimistä. Säätimen nimi muodostuu kolmesta toimintoa kuvaavasta termistä: suhde, integroiva ja derivoiva.

PID-säätimen rakenne

Säätimen ulostulo u koostuu kolmesta eri termistä. Tyypillisesti säätimen lähtö on (lähdön ajatellaan olevan)

$u=K_{P}e+K_{I}\int edt+K_{D}{\frac {de}{dt}}$

Tässä sisäänmenona käytetään erosuuretta $e$ eli asetusarvon ja mittausarvon erotus. Erosuure approksimoi säätövirhettä eli (säädettävän suureen) asetusarvon ja säädettävän suureen erotusta.

Suhdeosa (P) muodostaa säätimen ulostuloon erosuureeseen verrannollisen (Proportional) termin. Tällöin P-osan ulostulon itseisarvo on siis sitä suurempi, mitä kauempana toivotusta säädettävän suureen mittausarvo on. Vahvistus $K_{P}$ kuvaa säätötoimenpiteen voimakkuutta. P-termille on melko tyypillistä se, että se ei pysty yksinään kompensoimaan säätövirhettä kokonaan. Vakioasetusarvolle saatava säätövirhe saatetaan kuitenkin saada eliminoiduksi integroivien häiriöttömien prosessin P-säädössä. Säätövirheen loppuarvon poiketessa nollasta sitä kutsutaan pysyvän tilan virheeksi.

Integroiva osa (I) integroi erosuuretta ajassa. Sen ulostulo on suhteessa paitsi erosuureen suuruuteen ja riippuu myös sen kestoajasta. Integroivan termin vahvistuksena käytetään integrointivahvistusta $K_{I}$. Säätimen integroinnin ansiosta vakioasetusarvolle saatava säätövirhe voidaan eliminoida monissa sovelluksissa silloinkin, kun P-säädöllä ei siihen pystytä. Integroivalla säädöllä on muitakin etuja. Integroivuus auttaa mm. vakiohäiriöihin ja lineaarisesti muuttuvien asetusarvojen aiheuttamien säätövirheiden eliminoinnissa. Etujen saavuttaminen saattaa kuitenkin edellyttää mittaukselta sopivaa tarkkuutta. Joissakin sovelluksissa pelkkä I-säätö ei kuitenkin tule kysymykseen vaan myös P-termi tarvitaan riittävän stabiiliuden, vaimennuksen ja tehokkuuden saavuttamiseksi.

Derivoiva osa (D) huomioi erosuureen muutosnopeudenkin. D-termin parametria $K_{D}$ kutsutaan derivointivahvistukseksi. Derivoivaa osaa kutsutaan myös ennakoivaksi, koska se pyrkii kompensoimaan poikkeaman jo siinä vaiheessa, kun se vasta on muodostumassa. Sen käyttö helpottaa stabilointia, vaimennuksen ja tehokkuuden saavuttamista. Valitettavasti derivointi vahvistaa erosuureeseen mahdollisesti sisältyvää korkeataajuista kohinaa, jonka mittausfunktion kohina aiheuttaa. Säätimen ulostulosta saattaa tällöin tulla niin kohinainen sisäänmeno toimilaitteelle, että toimilaitteen toiminnasta tulee liian rauhaton. Tästä syystä derivoivaa osaa ei välttämättä käytetä elleivät muut syyt pakota sen käyttöön.

Ammattikielessä käytetään usein myös termejä integrointiaika ja derivointiaika. Integrointiajalle $T_{I}$ ja derivointiajalle $T_{D}$ säätimen ulostulolle saadaan esitys

$u=K_{P}\left(e+{\frac {1}{T_{I}}}\int edt+T_{D}{\frac {de}{dt}}\right)$

Tämä edellyttää parametrimuunnoskaavoja

$T_{I}={\frac {K_{P}}{K_{I}}}$

$T_{D}={\frac {K_{D}}{K_{P}}}$

Näiden käänteiskaavat ovat

$K_{I}={\frac {K_{P}}{T_{I}}}$

$K_{D}=K_{P}T_{D}$

PID-säätimelle voidaan johtaa siirtofunktio $G_{C}(s)$ esimerkiksi Laplace-muunnosta käyttäen:

$G_{C}(s)=K_{P}+{\frac {K_{I}}{s}}+K_{D}s$

$G_{C}(s)=K_{P}\left(1+{\frac {1}{T_{I}s}}+T_{D}s\right)$

Siirtofunktion lausekkeen voi kuitenkin johtaa myös ilman Laplace-muunnosta sekä derivointioperaattoriin liittyvänä operaattorisiirtofunktiona että systeemin (eksponentiaalisen) ominaisfunktion (eigenfunction) avulla.

Käytännössä tarkkaa derivointia ei voida toteuttaa. Tarkasti derivoiva systeemi olisi sitä paitsi jopa epästabiili. Likimääräinen derivointi onnistuu alipäästösuotimen ja ideaalisen derivoinnin sarjaankytkennän sopivalla ei-triviaalilla toimilohkoesityksellä. Alipäästösuotimen ollessa ensimmäistä kertalukua eli aikavakiolla kuvattavissa oleva P-termin ja alipäästösuodatuksella modifioidun D-termin summa voidaan muodostaa vaiheenjohtopiirin (phase lead circuit) avulla.

PID-säätimellä on runsaasti erilaisia muunnelmia. Esimerkiksi D-termissä erosuure saatetaan korvata mittausarvon vastaluvulla, ja P-termissä erosuureen tilalla voi olla apukertoimen ja asetusarvon tulon ja mittausarvon erotus.

Käytännössä PID-säätimestä käytetään usein yksinkertaistettuja versioita. Monissa käytännön tilanteissa riittävän hyvä säätötarkkuus saavutetaan, vaikka kaikkea PID-säätimen potentiaalia ei hyödynnettäisikään. Tällöin voidaan tarpeettomaksi katsottu tai joissain tilanteissa jopa ongelmia tuottava termi jättää säädöstä kokonaan pois. Tyypillisiä ovat esimerkiksi PI- ja PD-säätimet. Derivoivan osan poisjättämisen syyksi saattaa riittää myös halu selviytyä viritystyöstä helpommalla.

PID-säätimen virittäminen

PID-säätimen eri versioiden virittämiseen on tarjolla useita mahdollisuuksia. Yksiselitteisesti oikeita arvoja säätimen parametreille ei voida nimetä. Ne riippuvat paitsi säädettävän suureen käyttäytymisestä, myös säädön tavoitteista. Käytännössä jonkin ominaisuuden parantaminen voi usein tapahtua vain toisen kustannuksella. Esimerkiksi haluttaessa säätöpiirin reagoivan asetusarvon muutoksiin nopeasti voidaan vahvistusta kasvattaa, mutta tämä saattaa heikentää stabiilisuutta.

Käytännön esimerkki: Kokemuksesta tiedetään kerrostalon huoneistojen hidas reagointi lämmitystehoon. Tämä integroiva ominaisuus voidaan kompensoida lämmitystä ohjaavan säätimen D-tekijää vahvistamalla (=ennakoimalla). Tämä voi tarkoittaa mm. ulkoilman muutosnopeuden jonkinlaista huomiointia. Parempaan säätötulokseen päästään yhdistämällä ulkoilman lämpötilan mittauksen mahdollistama myötäkytkentäkompensointi ja PID-säätö.

P-, PI- ja PID- säädön virittämiseksi voidaan usein käyttää Ziegler-Nichols-menetelmää. Siinä viritys suoritetaan etsimällä P-säätimen kriittisen vahvistuksen arvo. Kriittisellä vahvistuksella säätöpiiri on stabiilisuusrajalla. Useimmissa systeemeissä mittaus ja säätimen ulostulo alkavat tällöin värähdellä vakioamplitudilla. P-säätimen virittämiseen käytetään kriittisen vahvistuksen arvoa. PI- ja PID-säätimien virityskaavoissa tarvitaan sekä kriittinen vahvistus että kriittisen värähtelyn jaksonaika. Kaikissa sovelluksissa värähtelyä ei kuitenkaan saada ollenkaan aikaan. Saatu viritys voi osoittautua kelvottomaksi erityisesti asetusarvon muutostilanteille. Niinpä menetelmällä saadaan usein vain ensimmäinen viritysarvaus. Parempia arvauksia voi etsiä kasvattamalla ja pienentämällä hieman aluksi saatuja arvoja ja arvioimalla uusissa kokeissa saatavia vasteita.

Käytännössä säätimen hienovirityksessä voidaan muutenkin joutua käyttämään myös yrityksen ja erehdyksen menetelmää. Tällöin on miellettävä eri termien painottamisen vaikutukset. Yleensä voidaan sanoa: P-termin vahvistuksen kasvattaminen lisää säädön nopeutta ja vähentää pysyvän tilan poikkeamaa mutta heikentää stabiilisuutta eli kasvattaa säädön asettumisaikaa ja maksimipoikkeamia. Integroivan termin painottaminen poistaa pysyvän tilan virheen ja lisää säädön nopeutta mutta heikentää myös stabiilisuutta. Derivoivan termin käyttö taas lisää yleensä stabiilisuutta mutta saattaa heikentää säätöpiirin vaimennusta liikaa eli saada vasteet värähtelemään liikaa.

Derivointiajan ollessa korkeintaan 25% integrointiajasta PID-säädin voidaan esittää PI-säätimen ja PD-säätimen sarjaankytkentänä niin, että toisessa näistä säätimistä P-vahvistus on yksi.

Kirjallisuutta

• Virtanen, Mertsi J.: Yleinen säätötekniikka. Infopress, 1981. ISBN 951-737-093-8
• Savolainen, Jari; Vaittinen, Reijo: Säätötekniikan perusteita. Gummerus, 2003. ISBN 952-13-1671-3