Neliömuoto

Neliömuoto (vaihdannaisessa renkaassa) on homogeeninen polynomi, jonka kaikki termit ovat toista astetta, eli niissä on vakiolla kerrottuna joko yhden muuttujan neliö tai kahden muuttujan tulo. Esimerkiksi binomin neliökaava $x^{2}+2xy+y^{2}$ on kahden muuttujan ($x$ ja $y$) neliömuoto. Yleisemmin $n$:n muuttujan neliömuoto on toisen asteen polynomi

$q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}$.

Se voidaan kirjoittaa lyhyemmin matriisitulona $\mathbf {x} ^{\top }\mathbf {Ax}$ tai pistetulona $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {Ax} \rangle$, missä $\mathbf {x} =[x_{1},\ldots ,x_{n}]^{\top }$ on pystyvektori ja $\mathbf {A}$ on neliömatriisi, jonka alkioina ovat kertoimet $a_{ij}$. Reaaliluvuilla, ja yleisemminkin kunnassa jonka karakteristika ei ole 2, voidaan matriisi aina valita symmetriseksi, tarvittaessa muunnoksella $\mathbf {A'} =(\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{\top })/2$.