Menelaoksen lause

Menelaoksen lause

Menelaoksen lause on tasogeometrian tulos joka koskee kolmiota ja suoraa. Olkoon ABC kolmio ja Z, Y, X janoilla AB, BC ja AC tai niiden jatkeilla, mutta X,Y,Z eivät kuitenkaan ole janojen päätepisteitä. Tällöin Z, Y ja X ovat samalla suoralla l jos ja vain jos $AZ/BZ*BY/CY*CX/AX=1$. Toisin sanoen X, Y ja Z ovat samalla suoralla jos ja vain jos toisiinsa koskemattomien sivujen tulo on yhtä suuri kuin toisten toisiinsa koskemattomien sivujen tulo.

Tod. Olkoon A:n, B:n ja C:n projektiot l:llä A1, A2, A3 ja janat AA1=h1,BA2=h2,CA2=h3. Tällöin yhdenmuotoisista kolmioista saadaan AZ/BZ=h1/h2, BY/CY=h2/h3, CX/AX=h3/h1. Kertomalla nämä keskenään saadaan $AZ/BZ*BY/CY*CX/AX=h_{1}h_{2}h_{3}/h_{2}h_{3}h_{1}=1.$ Toiseen suuntaa väite on selvä. Kiinnitetään pisteet Z ja Y. Tällöin edellä todistetun nojalla pitää olla CX/AX=BZ/AZ*BY/CY, joka on voimassa kun AZ/BZ*BY/CY*CX/AX=1. Mutta annetulla janalla on olemassa täsmälleen yksi piste joka jakaa janan annettuun suhteeseen.

Lähteet

• Nathan Sidoli: The Sector Theorem Attributed to Menelaus (sivut 43–79) The sector theorem attributed to Menelaus. 2006. Toronto: SCIAMVS no 7. Viitattu 17.7.2012. (englanti)

Aiheesta muualla

• Lehtinen, Matti: Nimekästä geometriaa (PDF) matematiikkakilpailut.fi. Arkistoitu 9.3.2016. Viitattu 22.9.2024 (Arkistoitu – Internet Archive).