Tarkkailijat E ja L havainnoivat joen mukanaan kuljettamaa suuretta
Q
{\textstyle Q}
Q
{\textstyle Q}
Q
{\textstyle Q}
Materiaaliderivaatta on virtausmekaniikassa tapa esittää paikasta ja ajasta riippuvan virtauksen mukana kulkevan suureen (esimerkiksi paine tai liikemäärä ) muutosta ajan suhteen. Materiaaliderivaatta antaa työkalun yhdistää kyseisen suureen muutosnopeuden havainnot sekä virtauksen ulkopuolisen (nk. Eulerin havaintokoordinaatisto ) että virtauksen mukana kulkevan (nk. Lagrangen havaintokoordinaatisto) tarkkailijan näkökulmista.[ 1]
Jos virtauksen nopeus on ajasta ja paikasta riippuva vektorikenttä
v
(
x
,
y
,
z
,
t
)
{\textstyle \mathbf {v} (x,y,z,t)}
Q
(
x
,
y
,
z
,
t
)
{\textstyle Q(x,y,z,t)}
Q
{\textstyle Q}
d
Q
d
t
=
∂
Q
∂
t
+
(
v
⋅
∇
)
Q
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )Q}
Materiaaliderivaattaa merkitään joskus myös
D
/
D
t
{\displaystyle \mathrm {D} /\mathrm {D} t}
[ 2]
Olkoon nopeusvektorikenttä paikan ja ajan funktio siten, että
v
(
x
,
y
,
z
,
t
)
=
v
x
(
x
,
y
,
z
,
t
)
i
+
v
y
(
x
,
y
,
z
,
t
)
j
+
v
z
(
x
,
y
,
z
,
t
)
k
{\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z,t)=v_{x}(x,y,z,t)\,\mathbf {i} +v_{y}(x,y,z,t)\,\mathbf {j} +v_{z}(x,y,z,t)\,\mathbf {k} }
Q
(
x
,
y
,
z
,
t
)
{\textstyle Q(x,y,z,t)}
Q
{\textstyle Q}
ketjusääntöä :
d
Q
d
t
=
∂
Q
∂
t
+
∂
Q
∂
x
d
x
d
t
+
∂
Q
∂
y
d
y
d
t
+
∂
Q
∂
z
d
z
d
t
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}+{\frac {\partial Q}{\partial x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial Q}{\partial z}}{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}}
Toisaalta nopeusvektorin komponentit ovat
v
x
=
d
x
/
d
t
{\textstyle v_{x}=\mathrm {d} x/\mathrm {d} t}
v
y
=
d
y
/
d
t
{\textstyle v_{y}=\mathrm {d} y/\mathrm {d} t}
v
z
=
d
z
/
d
t
{\textstyle v_{z}=\mathrm {d} z/\mathrm {d} t}
d
Q
d
t
=
∂
Q
∂
t
+
v
x
∂
Q
∂
x
+
v
y
∂
Q
∂
y
+
v
z
∂
Q
∂
z
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial Q}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial Q}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial Q}{\partial z}}}
Lisäksi
v
⋅
∇
=
(
v
x
i
+
v
y
j
+
v
z
k
)
⋅
(
i
∂
∂
x
+
j
∂
∂
y
+
k
∂
∂
z
)
=
v
x
∂
∂
x
+
v
y
∂
∂
y
+
v
z
∂
∂
z
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \cdot \nabla &=(v_{x}\mathbf {i} +v_{y}\mathbf {j} +v_{z}\mathbf {k} )\cdot \left(\mathbf {i} {\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial }{\partial z}}\right)\\&=v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\end{aligned}}}
Näin ollen voidaan kirjoittaa
d
Q
d
t
=
∂
Q
∂
t
+
(
v
x
∂
∂
x
+
v
y
∂
∂
y
+
v
z
∂
∂
z
)
Q
=
∂
Q
∂
t
+
(
v
⋅
∇
)
Q
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}+\left(v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)Q={\frac {\partial Q}{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )Q}
Olkoon koko avaruudessa kaikilla ajanhetkillä määritellyn virtauksen nopeusvektorikenttä
v
(
x
,
y
,
z
,
t
)
=
(
4
t
+
1
)
i
+
2
x
z
j
−
t
y
2
k
{\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z,t)=(4t+1)\,\mathbf {i} +2xz\,\mathbf {j} -ty^{2}\,\mathbf {k} }
kiihtyvyys .
Kiihtyvyys on partikkelin nopeuden derivaatta ajan suhteen. Hyödynnetään materiaaliderivaattaa:
a
=
d
v
d
t
=
∂
v
∂
t
+
(
v
⋅
∇
)
v
=
∂
v
∂
t
+
v
x
∂
v
∂
x
+
v
y
∂
v
∂
y
+
v
z
∂
v
∂
z
{\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} ={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial z}}}
Lasketaan ensin derivaatat erikseen:
∂
v
∂
t
=
∂
∂
t
(
(
4
t
+
1
)
i
+
2
x
z
j
−
t
y
2
k
)
=
4
i
−
y
2
k
v
x
∂
v
∂
x
=
(
4
t
+
1
)
∂
∂
x
(
(
4
t
+
1
)
i
+
2
x
z
j
−
t
y
2
k
)
=
(
4
t
+
1
)
⋅
2
z
j
=
(
8
t
z
+
2
z
)
j
v
y
∂
v
∂
y
=
2
x
z
∂
∂
y
(
(
4
t
+
1
)
i
+
2
x
z
j
−
t
y
2
k
)
=
2
x
z
⋅
(
−
2
t
y
k
)
=
−
4
t
x
y
z
k
v
z
∂
v
∂
z
=
−
t
y
2
∂
∂
z
(
(
4
t
+
1
)
i
+
2
x
z
j
−
t
y
2
k
)
=
−
t
y
2
⋅
2
x
j
=
−
2
t
x
y
2
j
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}&={\frac {\partial }{\partial t}}\left((4t+1)\,\mathbf {i} +2xz\,\mathbf {j} -ty^{2}\,\mathbf {k} \right)=4\,\mathbf {i} -y^{2}\,\mathbf {k} \\v_{x}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial x}}&=(4t+1){\frac {\partial }{\partial x}}\left((4t+1)\,\mathbf {i} +2xz\,\mathbf {j} -ty^{2}\,\mathbf {k} \right)=(4t+1)\cdot 2z\,\mathbf {j} =(8tz+2z)\,\mathbf {j} \\v_{y}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial y}}&=2xz{\frac {\partial }{\partial y}}\left((4t+1)\,\mathbf {i} +2xz\,\mathbf {j} -ty^{2}\,\mathbf {k} \right)=2xz\cdot (-2ty\,\mathbf {k} )=-4txyz\,\mathbf {k} \\v_{z}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial z}}&=-ty^{2}{\frac {\partial }{\partial z}}\left((4t+1)\,\mathbf {i} +2xz\,\mathbf {j} -ty^{2}\,\mathbf {k} \right)=-ty^{2}\cdot 2x\,\mathbf {j} =-2txy^{2}\,\mathbf {j} \\\end{aligned}}}
Yhdistetään tulokset ja kirjoitetaan kiihtyvyysvektori:
a
(
x
,
y
,
z
,
t
)
=
4
i
−
y
2
k
+
(
8
t
z
+
2
z
)
j
−
4
t
x
y
z
k
−
2
t
x
y
2
j
=
4
i
+
(
8
t
z
+
2
z
−
2
t
x
y
2
)
j
+
(
y
2
−
2
t
x
y
2
)
k
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (x,y,z,t)&=4\,\mathbf {i} -y^{2}\,\mathbf {k} +(8tz+2z)\,\mathbf {j} -4txyz\,\mathbf {k} -2txy^{2}\,\mathbf {j} \\&=4\,\mathbf {i} +(8tz+2z-2txy^{2})\,\mathbf {j} +(y^{2}-2txy^{2})\,\mathbf {k} \end{aligned}}}
↑ White, Frank M.: Fluid Mechanics, Seventh Edition in SI Units , s. 236. McGraw-Hill, 2011. ISBN 978-007-131121-2 (englanniksi) ↑ White, s. 237
