Lohkomatriisi

Matematiikassa lohkomatriisilla tarkoitetaan matriisin ositusta pienemmiksi matriiseiksi, lohkoiksi, jolloin alkuperäinen matriisi voidaan kirjoittaa näiden pienempien matriisien yhdistelmänä. Osituksen täytyy olla johdonmukainen siten, että se voidaan visualisoida jakamalla alkuperäinen matriisi lohkoihin koko matriisin läpi kulkevilla pysty- ja vaakasuorilla viivoilla. Jokainen matriisi voidaan kuvata lohkomatriisina yhdellä tai useammalla tavalla.

Esimerkki

$4\times 4$ -matriisi

$\mathbf {P} ={\begin{bmatrix}1&1&2&2\\1&1&2&2\\3&3&4&4\\3&3&4&4\end{bmatrix}}$

voidaan jakaa neljäksi $2\times 2$ -lohkoksi

$\mathbf {P} _{11}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}},\mathbf {P} _{12}={\begin{bmatrix}2&2\\2&2\end{bmatrix}},\mathbf {P} _{21}={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},\mathbf {P} _{22}={\begin{bmatrix}4&4\\4&4\end{bmatrix}}.$

Nyt ositettu matriisi voidaan kirjoittaa muodossa

$\mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{11}&\mathbf {P} _{12}\\\mathbf {P} _{21}&\mathbf {P} _{22}\end{bmatrix}}.$

Lohkojen ei ole pakko olla keskenään samankokoisia matriiseja. Yhtä hyvin voisimme valita vaikka

$\mathbf {P} _{11}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\\3&3\end{bmatrix}},\mathbf {P} _{12}={\begin{bmatrix}2&2\\2&2\\4&4\end{bmatrix}},\mathbf {P} _{21}={\begin{bmatrix}3&3\end{bmatrix}},\mathbf {P} _{22}={\begin{bmatrix}4&4\end{bmatrix}}.$

Lohkodiagonaalinen matriisi

Lohkodiagonaalinen matriisi on lohkomatriisin erikoistapaus, jossa matriisin diagonaali koostuu neliömatriiseista ja sen kaikki muut alkiot ovat nollia. Lohkodiagonaalinen matriisi on aina neliömatriisi. Siis, jos $\mathbf {A}$ on lohkodiagonaalinen matriisi, niin se voidaan kirjoittaa muodossa

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&0&\cdots &0\\0&\mathbf {A} _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\mathbf {A} _{n}\end{bmatrix}},$

missä $\mathbf {A} _{k}$ on neliömatriisi kaikilla $1\leq k$ $\leq n.$

Tämä voidaan esittää myös matriisien suorana summana: $\mathbf {A} =\mathbf {A} _{1}\oplus \mathbf {A} _{2}\oplus ...\oplus \mathbf {A} _{n}$.

Lohkodiagonaalisen matriisin determinantille ja jäljelle pätee:

$\operatorname {det} \mathbf {A} =\operatorname {det} \mathbf {A} _{1}\times \ldots \times \operatorname {det} \mathbf {A} _{n},$

$\operatorname {tr} \mathbf {A} =\operatorname {tr} \mathbf {A} _{1}+\cdots +\operatorname {tr} \mathbf {A} _{n}.$

Lohkomatriisien matriisitulo

Olkoon lohkomatriisit $\mathbf {A}$ ja $\mathbf {B}$, missä $\mathbf {A}$ on $m\times p$ -matriisi ja $\mathbf {B}$ on $p\times n$ -matriisi, ositettu siten, että

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}&\cdots &\mathbf {A} _{1s}\\\mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}&\cdots &\mathbf {A} _{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {A} _{q1}&\mathbf {A} _{q2}&\cdots &\mathbf {A} _{qs}\end{bmatrix}},$

ja

$\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}&\cdots &\mathbf {B} _{1r}\\\mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}&\cdots &\mathbf {B} _{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {B} _{s1}&\mathbf {B} _{s2}&\cdots &\mathbf {B} _{sr}\end{bmatrix}}.$

Toisin sanoen, matriisin $\mathbf {A}$ rivit on jaettu $q$:hun osaan ja sarakkeet $s$:ään osaan. Vastaavasti matriisin $\mathbf {B}$ rivit on jaettu $s$:ään osaan ja sarakkeet $r$:ään osaan.

Nyt voidaan laskea matriisitulo $\mathbf {C} =\mathbf {A} \mathbf {B}$, joka on muotoa $m\times n$ oleva matriisi ja jossa on $q$ riviositusta ja $r$ sarakeositusta. $\mathbf {C}$:n lohkot saadaan laskemalla:

$\mathbf {C} _{xy}=\sum _{k=1}^{s}\mathbf {A} _{xk}\mathbf {B} _{ky},$

jolloin

$\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}\mathbf {C} _{11}&\mathbf {C} _{12}&\cdots &\mathbf {C} _{1r}\\\mathbf {C} _{21}&\mathbf {C} _{22}&\cdots &\mathbf {C} _{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {C} _{q1}&\mathbf {C} _{q2}&\cdots &\mathbf {C} _{qr}\end{bmatrix}}.$

Lähteet

• Strang, Gilbert: Lecture 3: Multiplication and inverse matrices 1999. MIT Open Course ware.
• Rowland, Todd: Block Matrix MathWorld, A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein.

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).