Leibnizin kolmio

Leibnizin kolmio eli Leibnizin harmoninen kolmio on lukukolmio, jossa on rationaalilukuja. Siinä ylimpänä on luku 1, ja jokainen ylemmällä rivillä oleva luku on kahden alemmalla rivillä olevan peräkkäisen luvun summa. Esimerkiksi lukujen 1/30 ja 1/60 yläpuolella on luku 1/20, koska 1/30 + 1/60 = 2/60 + 1/60 = 3/60 = 1/20.

Kolmion alkupään luvut

Kolmion kahdeksan ensimmäistä riviä ovat:

${\begin{array}{cccccccccccccccccc}&&&&&&&&&1&&&&&&&&\\&&&&&&&&{\frac {1}{2}}&&{\frac {1}{2}}&&&&&&&\\&&&&&&&{\frac {1}{3}}&&{\frac {1}{6}}&&{\frac {1}{3}}&&&&&&\\&&&&&&{\frac {1}{4}}&&{\frac {1}{12}}&&{\frac {1}{12}}&&{\frac {1}{4}}&&&&&\\&&&&&{\frac {1}{5}}&&{\frac {1}{20}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{20}}&&{\frac {1}{5}}&&&&\\&&&&{\frac {1}{6}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{6}}&&&\\&&&{\frac {1}{7}}&&{\frac {1}{42}}&&{\frac {1}{105}}&&{\frac {1}{140}}&&{\frac {1}{105}}&&{\frac {1}{42}}&&{\frac {1}{7}}&&\\&&{\frac {1}{8}}&&{\frac {1}{56}}&&{\frac {1}{168}}&&{\frac {1}{280}}&&{\frac {1}{280}}&&{\frac {1}{168}}&&{\frac {1}{56}}&&{\frac {1}{8}}&\\&&&&&\vdots &&&&\vdots &&&&\vdots &&&&\\\end{array}}$

Lukujen laskusääntö

Kolmion n:nnen rivin kummassakin päässä on luku

$a_{n,1}={1 \choose n}$,

ja n:nnen rivin k:s luku on

$a_{n,k}=\left({\frac {1}{n{\binom {n-1}{k-1}}}}\right)$

eli

$a_{n,k}={\frac {1}{{\binom {n}{k}}k}}$.

missä luvut ${\binom {n}{k}}$ ovat binomikertoimia:

${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$.

Leibnizin kolmion n:nnen rivin c:nnelle luvulle käytetään merkintää $L(n,r)$, missä $1\geq r\geq n$. Näin ollen on siis $L(n,1)={\frac {1}{n}}$ ja $L(r,c)=L(r-1,c-1)-L(r,c-1$.

Yhteys Pascalin kolmioon

Leibnizin harmonisella kolmiolla on selvä yhteys Pascalin kolmioon. Pascalin kolmion jokainen luku, rivien päässä olevia ykkösiä lukuun ottamatta, on kahden edellisellä rivillä olevan peräkkäisen luvun summa, kun taas Leibnizin kolmiossa jokainen luku on kahden seuraavalla rivillä olevan luvun summa. Esimerkiksi viidennellä rivillä olevan luvun 1/30 alla seuraavalla rivillä ovat luvut 1/60 ja 1/60, joiden summa on 1/30.

Leibnizin kolmion luvut voidaan myös laskea Pascalin kolmion lukujen avulla. Kunkin rivin k:s luku saadaan sen ensimmäisestä luvusta jakamalla se vastaavassa kohdassa Pascalin kolmiossa olevalla luvulla. Esimerkiksi Pascalin kolmion viidennellä rivillä ovat luvut 1, 4, 6, 4 ja 1. Leibnizin kolmion viidennen rivin alussa on luku 1/5, ja kun se jaetaan luvuilla 4, 6, 4 ja 1, saadaan rivin muut luvut 1/20, 1/30, 1/20 ja 1/5.

Ominaisuuksia

Jos lasketaan yhteen Leibnizin kolmion n:nnellä rivillä olevien murtolukujen nimittäjät, summaksi saadaan $n2^{n-1}$. Esimerkiksi kolmannella rivillä ovat nimittäjät 3, 6 ja 3, joiden summa on 12 = 3 · 2².

Kolmion jokainen luku voidaan laskea myös integraalilla $L(r,c)=\int _{0}^{1}\!x^{c-1}(1-x)^{r-c}\,dx\,.$

Leibnizin kolmion rivi voidaan laske niin että kerrotaan rivin ensimmäisen luvun nimittäjällä vähennettynä yhdellä ja tämän jälkeen kertoja pienenee aina yhdellä ja jakaja kasvaa yhdellä. Esimerkiksi rivillä 5 kertoja on ensin 4 jolloin tulee 1/20 sen jälkeen kertoja on kolme ja jakaja kaksi jolloin tulee 1/30.

Lähteet

• Leibniz harmonic triangle Geeks for Geeks. 3.8.2018. Viitattu 1.11.2020. (englanniksi)