Korkolaskenta

Tämä artikkeli käsittelee koron laskemista.

Määritelmiä

Korkokanta tarkoittaa prosenttilukua, joka ilmoittaa, montako prosenttia pääoma kasvaa korkojakson aikana.

Korkojakso tarkoittaa ajanjaksoa, jolta korkokannan ilmoittama korko lasketaan.

Korkojaksot

Korkojakso	Merkintä	Lyhenne
1 vuosi	per annum	p.a.
6 kk	per semester	p.s.
3 kk	per quartal	p.q.
2 kk	per 2 kk
1 kk	per kk

Korkojakso on tavallisesti yksi vuosi. Tällöin puhutaan myös vuosikorosta. Tämän artikkelin laskuesimerkeissä tarkoitetaan nimenomaan vuosikorkoa.

Koron laskeminen

Eri yhteyksissä on käytössä kaksi tapaa korkojen laskemiseksi, yksinkertainen korko ja koronkorko. Lyhyellä aikavälillä nämä eivät juuri eroa toisistaan, mutta tarpeeksi pitkällä aikavälillä ero kasvaa erittäin suureksi. Käytännön velkasuhteisiin sovelletaan Suomessa yksinkertaisen koron laskentaa. Korko maksetaan vähintään vuosittain. Kun vuotuista korkoa ei suoriteta käytetään Korkoa korolle -laskelmia.

Yksinkertainen korko

Yksinkertaista korkoa käytettäessä korkoa kertyy vain jäljellä olevalle lainapääomalle. Tällöin kertyvä korko on suoraan verrannollinen laina-ajan pituuteen.

Yksinkertaista korkoa laskettaessa korko $R$ lasketaan kaavasta

$R={\frac {k\cdot p\cdot t}{100}}$

missä k on jäljellä oleva pääoma, p vuotuinen korkokanta prosentteina ja t aika vuosina.

Jos korkoaika t on lyhempi kuin yksi vuosi, on eri yhteyksissä käytössä kolme hieman eri tulokseen johtavaa tapaa, joilla aikaväli eli korkopäivien lukumäärä muunnetaan vuoden murto-osiksi. Erot tapojen välillä johtuvat siitä, etteivät kaikki kuukaudet ole yhtä pitkät. Eri tavat ovat:

• englantilainen tapa: aikavälin pituus päivinä lasketaan ottamalla huomioon kuukausien todelliset pituudet, ja näin saatu korkopäivien lukumäärä muunnetaan vuoden murto-osiksi jakamalla 365:llä tai karkausvuosina 366:lla
• ranskalainen tapa: aikavälin pituus päivinä lasketaan huomioon ottamalla huomioon kuukausien todelliset pituudet, mutta vuoden murto-osalle käytetään likiarvoa, joka saadaan jakamalla korkopäivien lukumäärä 360:lla; ja
• saksalainen tapa: korkopäivien lukumäärälle käytetään likiarvoa, joka saadaan olettamalla, että jokaisessa kuukaudessa olisi 30 päivää, ja näin laskettu lukumäärä jaetaan 360:lla.

Aikavälin alkupäivältä ei makseta korkoa, mutta kylläkin loppupäivältä.

Suomessa oli saksalainen tapa aikaisemmin yleisesti käytössä, mutta nykyisin aikavälin todelliseen pituuteen perustuva englantilainen tapa on sen enenevässä määrin syrjäyttänyt.

Jos esimerkiksi vuoden ajan joka kuukausi talletetaan rahaa, kertyy aikaisemmin talletetuille rahoille enemmän korkoa. Apuna tässä käytetään aritmeettista lukujonoa.

Laskuesimerkki

Jos 1000 euron pääoma lainataan ajaksi 10. kesäkuuta – 25. marraskuuta, on aikavälin todellinen pituus (30-10) + 31 + 31 + 30 + 31; + 25 = 168 päivää, mutta jos jokaisen kuukauden pituus pyöristetään 30:ksi, saadaan sen laskennalliseksi pituudeksi 165 päivää. Näin ollen korkolaskussa käytettynä aikakertoimena on englantilaisen tavan mukaan 168/365, tai jos kyseessä on karkausvuosi, 168/366, ranskalaisen tavan mukaan 168/360 ja saksalaisen tavan mukaan laskettuna 165/360. Jos vuotuinen korkokanta on 6 prosenttia, maksettava korko tältä aikaväliltä on siis:

• englantilaisen tavan mukaan laskettuna: 1000 · 6/100 · 168/365 = 27,62 €, tai jos kyseessä on karkausvuosi, 1000 · 6/100 · 168/366 = 27,54 €;
• ranskalaisen tavan mukaan laskettuna: 1000 · 6/100 · 168/360 = 28 euroa, ja
• saksalaisen tavan mukaan laskettuna: 1000 · 6/100 · 165/360 = 27,5 euroa.

Korkoa korolle

Korkoa korolle -laskelmissa ensimmäisen vuoden jälkeen lasketaan korkoa, paitsi alkuperäiselle pääomalle, myös sen edellisinä vuosina kertyneille koroille. Tällöin korko on joka vuosi hieman edellistä suurempi, ja aikaa myöten se kasvaa eksponentiaalisesti hyvinkin suureksi. Sijoitettaessa pääoma k vuosikorolla p (prosenttia), sijoitus korkoineen ensimmäisen vuoden lopussa eli toisen vuoden alussa on

$K=k\cdot (1+{\frac {p}{100}})$

Esimerkiksi 100 euron sijoitus 10 % (10 % = 0,10) korolla on tällöin kasvanut $100\cdot (1+{\frac {10}{100}})$ = 110 euroksi.

Toisen vuoden lopussa eli kolmannen vuoden alussa se on

$k\cdot (1+{\frac {p}{100}})\cdot (1+{\frac {p}{100}})=k\cdot (1+{\frac {p}{100}})^{2}$.

Esimerkiksi 100 euron pääoma kasvaa kahdessa vuodessa 10 %:n korolla $100\cdot (1+0,1)^{2}=121$ euroksi.

Yleisemmin pääoma k on p prosentin korolla kasvanut t vuoden kuluttua arvoon $K=k\cdot (1+{\frac {p}{100}})^{t}$. Täten jos pääomaa ei lyhennetä, kasvaa se korkoineen ja koronkorkoineen ajan funktiona eksponentiaalisesti.

Jos lasketaan korkoa korolle tulos siten, että joka kuukausi talletetaan rahaa vuosien ajan käytetään tämän laskemiseen apuna geometrista lukujonoa.

Taulukko

Kasvanut pääoma

Taulukko osoittaa, kuinka suureksi 100 euron pääoma kasvaa 1 – 20 vuoden kuluessa eri vuosikorkoprosenteilla, kun vuosittain kertyneet korot pääomitetaan kasvamaan korkoa korolle.

Kasvanut pääoma

Vuotta	1 %	2 %	3 %	4 %	5 %	6 %	7 %	8 %	9 %	10 %
1	101,00	102,00	103,00	104,00	105,00	106,00	107,00	108,00	109,00	110,00
2	102,01	104,04	106,09	108,16	110,25	112,36	114,49	116,64	118,81	121,00
3	103,03	106,12	109,27	112,49	115,76	119,10	122,50	125,97	129,50	133,10
4	104,06	108,24	112,55	116,99	121,55	126,25	131,08	136,05	141,16	146,41
5	105,10	110,41	115,93	121,67	127,63	133,82	140,26	146,93	153,86	161,05
6	106,15	112,62	119,41	126,53	134,01	141,85	150,07	158,69	167,71	177,16
7	107,21	114,87	122,99	131,59	140,71	150,36	160,58	171,38	182,80	194,87
8	108,29	117,17	126,68	136,86	147,75	159,38	171,82	185,09	199,26	214,36
9	109,37	119,51	130,48	142,33	155,13	168,95	183,85	199,90	217,19	235,79
10	110,46	121,90	134,39	148,02	162,89	179,08	196,72	215,89	236,74	259,37
11	111,57	124,34	138,42	153,95	171,03	189,83	210,49	233,16	258,04	285,31
12	112,68	126,82	142,58	160,10	179,59	201,22	225,22	251,82	281,27	313,84
13	113,81	129,36	146,85	166,51	188,56	213,29	240,98	271,96	306,58	345,23
14	114,95	131,95	151,26	173,17	197,99	226,09	257,85	293,72	334,17	379,75
15	116,10	134,59	155,80	180,09	207,89	239,66	275,90	317,22	364,25	417,72
16	117,26	137,28	160,47	187,30	218,29	254,04	295,22	342,59	397,03	459,50
17	118,43	140,02	165,28	194,79	229,20	269,28	315,88	370,00	432,76	505,45
18	119,61	142,82	170,24	202,58	240,66	285,43	337,99	399,60	471,71	555,99
19	120,81	145,68	175,35	210,68	252,70	302,56	361,65	431,57	514,17	611,59
20	122,02	148,59	180,61	219,11	265,33	320,71	386,97	466,10	560,44	672,75

Jatkuva korko

Laskettaessa talletukselle korkoa korolle yhä pienemmissä erissä koron pysyessä vakiona, lähestyy maksettu summa raja-arvoa. Jos korkoprosentti yhdelle erälle on p, erien määrä vuodessa n, alkupääoma k, saadaan tilille kertyneen rahan määrä ajan (vuosissa) funktiona $a(t)$:

$a(t)=k\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {p}{100n}}\right)^{nt}$

mikä voidaan Neperin luvun ominaisuuksien avulla sieventää muotoon:

$a(t)=ke^{{\frac {p}{100}}t}$

Näin laskettua korkoa sanotaan jatkuvaksi koroksi, ja kaavoissa esiintyvää erän korkoa ${\frac {p}{100}}$korkointensiteetiksi. Efektiivinen vuosikorko K voidaan laskea korkointensiteetistä ${\frac {p}{100}}$ kaavalla

$K={\frac {e^{\frac {p}{100}}-1}{100}}$

Jatkuvan koron etu verrattuna edellisiin malleihin on se, että korko voidaan laskea helposti mille talletusajalle t tahansa.