Kolmen vangin ongelma

Kolmen vangin ongelma esiintyi vuonna 1959 Martin Gardnerin kolumnissa "Matemaattiset pelit" Scientific American-lehdessä. Kolmen vangin ongelma on matemaattisesti ekvivalentti Monty Hallin ongelmaan autosta ja vuohesta. Tässä artikkelissa käsiteltävässä ongelmassa auto on korvattu vapaudella ja vuohi kuolemantuomiolla.

Ongelma

Kolme vankia, A, B ja C ovat tuomittuja kuolemaan ja asuvat omissa selleissään. Kuvernööri on valinnut heistä sattumanvaraisesti yhden, joka armahdetaan. Vartija tietää kuka vangeista on armahdettu, mutta hän ei saa kertoa sitä. Vanki A anelee vartijaa kertomaan kumpi vangeista B ja C on varmasti tuomittu kuolemaan (kumpaa siis ei ole armahdettu). ”Jos B on armahdettu, kerro minulle C:n nimi. Jos C on armahdettu, kerro minulle B:n nimi. Jos minä (vanki A) olen saanut armahduksen, heitä kolikkoa ja kerro minulle joko B:n tai C:n nimi.”

Vartija kertoo vanki A:lle, että vanki B aiotaan teloittaa. Vanki A on helpottunut, koska hän uskoo selviytymismahdollisuuksiensa nousseen kolmasosan (1/3) mahdollisuudesta puoleen (1/2), kuten mahdollisuus nyt on hänen ja vangin C välillä. Vanki A kertoo salaa vangille C saamansa uutiset. Vanki C helpottuu, koska uskoo, että vangilla A on edelleen 1/3 todennäköisyys saada armahdus ja että hänellä itsellään (vanki C) on puolestaan 2/3 mahdollisuus tulla armahdetuksi. Mikä on oikea vastaus?

Ratkaisu

Vastaus on, että vanki A ei oikeastaan saanut mitään lisätietoa omasta kohtalostaan. Oletetaan että vangilla A on 1/3 mahdollisuus tulla armahdetuksi, siis yhtä suuri mahdollisuus kuin vangeilla B ja C. Vartija kertoi vangin B olevan toinen teloitettavista joko siksi, että vanki C armahdetaan (mahdollisuus 1/3) tai siksi että vanki A armahdetaan (mahdollisuus 1/3) JA vartijan heittämä kolikko antoi vastaukseksi vangin B (mahdollisuus 1/2). Tällöin mahdollisuus siihen, että vanki B nimettiin vangin A armahduksen takia on vain 1/6.

Sen seurauksena, että vanki A sai tietää vangin B olevan toinen teloitettavista, vangin A mahdollisuus armahdukseen on vain puolet vangin C mahdollisuudesta. Nyt jos oletetaan, että vankia B ei armahdeta, on vangilla A siis edelleen 1/3 mahdollisuus tulla armahdetuksi kun taas vangin C mahdollisuus on 2/3, kaksinkertainen vankiin A nähden.

armahdettu	vartija: "ei B"	vartija: "ei C"	yht.
A	1/6	1/6	1/3
B	0	1/3	1/3
C	1/3	0	1/3

Matemaattinen ratkaisu

Nimetään tapahtumat A, B ja C siten, että ne vastaavat samalla kirjaimella nimetyn vangin armahdusta.

Tapahtumat A = ”vanki A armahdetaan” B = ”vanki B armahdetaan” C = ”vanki C armahdetaan” b = ”vartija nimeää vangin B joutuvan teloitettavaksi (ei armahdettu)”

Nyt Bayesin teoreemaa käyttäen saadaan, että vangin A mahdollisuus tulla armahdetuksi on:

$P(A|b)={\frac {P(b|A)P(A)}{P(b|A)P(A)+P(b|B)P(B)+P(b|C)P(C)}}=$

$={\frac {{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{3}}}{{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{3}}+0\times {\tfrac {1}{3}}+1\times {\tfrac {1}{3}}}}={\tfrac {1}{3}}.$

Intuitiivinen selitys

Jokaisella vangilla on 1/3 mahdollisuus tulla armahdetuksi. Tieto siitä, että joko vanki B tai vanki C teloitetaan, ei muuta vangin A mahdollisuutta tulla armahdetuksi. Vangilla A on siis 1/3 mahdollisuus tulla armahdetuksi ja vangeilla B ja C on yhteensä 2/3 mahdollisuus tulla armahdetuksi. Oletetaan, että tiedämme vangin B joutuvan teloitetuksi. Nyt vangin A mahdollisuus tulla armahdetuksi pysyy edelleen samana (1/3) ja vangin B mahdollisuus armahdukseen siirtyi vangille C, jolloin vangin C mahdollisuus on 2/3.

Katso myös

• Monty Hallin ongelma
• Vangin dilemma
• Bayesin teoreema