Kleinin neliryhmä

Kleinin neliryhmä on pienin mahdollinen ei-syklinen ryhmä. Kleinin neliryhmän esitteli vuonna 1884 sen kehittäjä Felix Klein. Sen symbolina käytetään kirjainta V, joka tulee saksan kielen sanasta Vierergruppe.

Kleinin neliryhmä on Abelin ryhmä, ja siinä kaikki alkiot itsensä kanssa yhdistettyinä tuottavat yksikköalkion. Kleinin neliryhmä voidaan muodostaa myös syklisen ryhmän $\mathbb {Z} _{2}$ suorana summana itsensä kanssa: $V=\mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}$.

Jos Kleinin neliryhmän alkioille käytetään merkintöjä 1, a, b ja ab, niiden yhdistämisen tulokset ovat seuraavat:

*	1	a	b	ab
1	1	a	b	ab
a	a	1	ab	b
b	b	ab	1	a
ab	ab	b	a	1

Tasossa Kleinin ryhmä on neljäkkään sekä myös suorakulmion symmetriaryhmä. Tällöin ryhmän alkiot vastaavat seuraavia yhtenevyys­kuvauksia: identiteetti, peilaus vaaka­suoran akselin suhteen, peilaus pysty­suoran akselin suhteen ja 180 asteen rotaatio.

Kolmiulotteisessa avaruudessa voidaan eri tavoin muodostaa kolme keskenään isomorfista symmetriaryhmää, jotka vastaavat Kleinin neli­ryhmää. Sellaisen muodostavat (kaikkiin näihin kuuluu lisäksi identiteetti yksikkö­alkiona):

• avaruuden 180 asteen kierrot kolmen keskenään kohti­suoran akselin ympäri: D₂
• 180 asteen kierto tietyn akselin ympäri, peilaus tätä vastaan kohti­suoran tason suhteen sekä näiden yhdistelmä: C_2h = D_1d
• peilaukset kahden toisiaan vastaan kohti­suoran tason suhteen sekä näiden yhdistelmä : C_2v = D_1h

Kleinin neliryhmän muut alkiot yksikköalkiota lukuun ottamatta ovat keskenään vaihdettavissa: jokainen kuvaus, jossa kaksi tai kolme näistä vaihdetaan keskenään, on ryhmän automorfismi.

Kleinin neliryhmällä on triviaalien aliryhmiensä {1} ja V lisäksi kolme aliryhmää. Ne ovat {1,a},{1,b} ja {1,ab}.

Lähteet

• M.A. Armstrong (1988) Groups and Symmetry, Springer Verlag, sivu 53.
• W.E. Barnes (1963) Introduction to Abstract Algebra, D.C. Heath & Co., sivu 20.