Keskustelu:Laskutoimitus

Määritelmästä

Artikkelissa määritellään, että laskutoimitus on kuvaus $E\times E\to E$. En ole koskaan nähnyt laskutoimituksen määritelmää, joten tämä voi olla eräs käytetyistä määritelmistä, mutta siinä on pari ongelmaa.

Tällöin esimerkiksi jakolasku (rationaali- tai reaalilukujen) tuottaa ongelman, sillä 1) nollalla jakaminen täytyisi määritellä tai muuten muotoa (x,0) oleville pareille ei ole annettu kuva-alkiota (vaadittavaa, mikäli laskutoimitus on kuvaus $E\times E\to E$. tai 2) jakolasku täytyisi määritellä vain nollasta eroaville rationaaliluvuille (tai reaaliluvuille), jolloin nollaa ei saisi jakaa. Mikä tuottaisi omat ongelmansa.

Lisäksi jos laskutoimitus on funktio, niin miten 1 + 1 = 2 voi olla laskutoimitus? Lisäksi potenssiin korotuksen kanssa tulee vastaavanlaisia ongelmia kuin jakolaskussa. Ja viittaus neliöjuuren tässä kontekstissa on vähintäänkin outoa.

Pitäisikö määritelmä olla muodossa: Laskutoimitus on kuvaus $A\times B\to E$. Faux 30. joulukuuta 2006 kello 02.57 (UTC)

Määritelmä on oikein. Jakolasku määritellään kertolaskun avulla. Tässä konstruoidaan monoidille jakomonoidi, jossa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat kääntyviä. Tämä on konstruoitu siten, että siinä kaikki alkiot ovat kääntyviä. Tarkemmin aiheesta esim. Helsingin yliopiston Algebra 2 -kurssin luentomuistiinpanoissa. --Matikkapoika 5. tammikuuta 2007 kello 10.58 (UTC)

Teknisesti olet kyllä oikeassa, mutta minulle ei heti tullut mieleen, että jakolasku on joukon $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \setminus \{0\}$ erään ekvivalenssirelaation ekvivalenssiluokkien joukon binäärioperaatio, vaikka olen sinut rationaalilukujen algebrallisen konstruktion kanssa. Nykyisessä muodossaan artikkeli on kuitenkin sekava ja hirvittävä. Minusta olisi parempi, että laskutoimitus käsittelisi vain laskutoimituksia alkeisaritmeettisten laskutoimitusten mielessä, kuten esimerkiksi englannin kielisessä wikissä tehdään. Nykyinen määritelmä olisi hyvä siirtää binäärioperaatio-artikkelin alle, ja käsitellä siellä "teoreettisempia" laskutoimituksia, ts. binäärioperaatioita. Hyvä puolena olisi, että tällöin myös merkkijonosta $1+1=2$ voi puhua laskutoimituksena ilman ongelmia. Faux 5. tammikuuta 2007 kello 12.41 (UTC)

Kiireessä lukiessa tuli pieni ajatusvirhe. Eli siis, tuossahan siis vain laajennetaan kommutatiivista monoidia siten, että halutuille alkioille saadaan käänteisalkio uudessa monoidissa, jolloin jakolasku voidaan määritellä kertolaskuna käänteisalkion kanssa. Eli kokonaislukujen tapauksessa konstruoidaan rationaaliluvut ja sinne määritellään jakolasku tutulla tavalla, jolloin aikaisemmin esittämäni ongelma pätee. Tällöin jakolasku ei ole rationaalilukujen joukon binäärioperaatio, tosin se on nollasta eroavien rationaalilukujen joukon binäärioperaatio. Tämä sotii ainakin minun laskutoimituksen intuitiivista käsitettä vastaan, koska minusta esimerkiksi $0/2=0$ on laskutoimitus. Minusta artikkelissa käytetty laskutoimituksen määritelmä on kehnohko ja parempi puhua laskutoimituksesta enemmän intuitiivisen määritelmän pohjalta, jolloin joukoista ei tarvitsisi välittää ja yksittäinen laskutoimitus, esim. tuo $1+1=2$ olisi laskutoimitus. Tämän ongelman välttämiseksi voisi ottaa käyttöön englanninkielisen wikin operation vs. operator jaotelmaa pohjana, jolloin asiat minusta selkiytyisivät huomattavasti. Jos laskutoimitusta ajateltaisiin tuon operation-artikkelin pohjalta, niin tällöin ongelmat joukkojen ja terminologian kanssa vähenisivät ja tällöin myös neliöjuurten ototkin ovat laskutoimituksia. Kysymyshän on lähinnä nyt miten asiat halutaan määritellä, ja itse olen sitä mieltä että ongelmatilanteissa wikipedian määritelmät tulisivat olla mahdollisimman paljon yhteensopivia intuition kanssa. Faux 5. tammikuuta 2007 kello 15.01 (UTC)

Minä olen opetellu matematiikka sillä perusteella, että olen koittanut ensiksi miettiä ongelmaa intuitiivisesti. Jos en tällä tavalla ole ratkaisuun päässyt, olen alkanut miettiä ongelmia määritelmien kautta. Mielestäni artikkeliin voisi koittaa ensiksi selittää intuitiivisesti mikä on laskutoimitus. Tämän jälkeen voisi antaa täsmällisen määritelmän. Vaikka luulenpa, että vasta yliopisto- ja TKK:n matematiikan opiskelijat ymmärtävät jakomonoidikonstruktion, ja he tuskin opettelevat matematiikkaa Wikipedian avulla. Joka tapauksessa, jos matematiikassa joutuu ongelmiin, voi aina palata määritelmiin, joten on hyvä että määritelmät löytyvät jostakin, esimerkiksi Wikipediasta. --Matikkapoika 5. tammikuuta 2007 kello 16.45 (UTC)

Minä yritin nyt muuttaa artikkelia lähemmäksi omaa visiotani. Määritelmä on nyt otettu enkkuwikin operation-artikkelista. Lopputulos on erittäin huono (lähinnä ne ei-täsmälliset käsien heiluttelun kohdat). Muokkaus olisi toivottavaa. Faux 5. tammikuuta 2007 kello 18.20 (UTC)

Mistä keksit että laskutoimituksessa pitäisi voida olla useampiakin kuin kaksi lähtöalkiota? Käsitteen järkevä määrittely on riittävän vaikeaa jo yhden-kahden alkion tapauksessa. Useampialkioiset laskutoimituksiksi kutsuttavat funktiot voinee aina esittää yhdisteenä 2-alkioisista laskutoimituksista. --ML 5. tammikuuta 2007 kello 18.41 (UTC)

Lähinnä siitä, että tuossa artikkelin nykyisessä formaalissa määritelmässä se sallitaan. Alkeislaskutoimituksissa pärjätään aivan hyvin kahdella lähtöalkiolla, joten kannatan, että tuo intuitioon pohjautuva määrätelmä rajautuu korkeintaan kahteen alkioon. Hyväksyisin myös, että laskutoimituksella olisi täsmälleen kaksi lähtöarvoa, mutta toisaalta aika moni varmaan käsittää myös neliöjuuren ottamisen laskutoimitukseksi. Kiitoksia hyvistä muutoksista. Faux 5. tammikuuta 2007 kello 19.17 (UTC)

Vaan neliöjuuri ei ole laskutoimitus. Jakolaskukaan ei ole laskutoimitus reaalilukujen joukossa, sillä sitä ei ole määritelty kaikille reaalilukupareille. Tosin jakolasku on laskutoimitus positiivisten reaalilukujen joukossa. Neliöjuuri ja jakolasku ovat operaatioita, mutta eivät laskutoimituksia reaalilukujen joukossa. Kannattaa opetella operaation ja laskutoimituksen ero. --Matikkapoika 6. tammikuuta 2007 kello 19.38 (UTC)

On tämä määrittely hankalaa. Opettelisin kyllä määritelmät, jos niistä olisi jonkinlainen yleinen konsensus ja niiden käyttämisessä olisi jotakin järkeä. Varsinkin kun samalle konseptille on olemassa jo toinen kutsumanimi: binäärioperaatio. Se mikä on hyvä määritelmä yliopiston matematiikan ainekurssille ei välttämättä ole hyvä määritelmä wikipediaan varsinkin, jos se sotii vahvasti intuitiota vastaan. Ymmärrän kyllä miksi binäärioperaatiota halutaan joissakin yhteyksissä kutsua laskutoimitukseksi (esimerkiksi magmoja käsiteltäessä), mutta yleisenä määritelmänä siinä tulee heti ongelmia vastaan. Jos nyt tulisimme konsensukseen siitä, että laskutoimitus on funktio $E\times E\to E$, niin silloin artikkeliin pitäisi alkaa lisätä huomautuksia tyyliin, että toisinkuin yleisesti luullaan, reaalilukujen jakolasku ei ole laskutoimitus. Ja sitten lineaariavaruuksissa vektorien yhteenlasku on laskutoimitus, mutta skalaarilla kertominen ei. Puhumattakaan siitä, että jos laskutoimitus on tietyntyyppinen funktio, niin $1+2$ ei ole enää laskutoimitus. Oletko oikeasti sitä mieltä, että artikkelin muuttaminen siten, että lähtökohtana on "laskutoimitus on kuvaus $E\times E\to E$" parantaa artikkelia? Toisaalta olisi hyvä, että sinne lisättäisiin huomautus, että joissakin yhteyksissä (esimerkiksi magmoja ja niiden yleistyksiä käsiteltäessä) laskutoimituksella tarkoitetaan juuri binäärioperaatiota. Faux 6. tammikuuta 2007 kello 22.35 (UTC)

Olen sitä mieltä, että määritelmien mukaan on elettävä. Laskutoimitus ja binäärioperaatio ovat synonyymejä keskenään. Ei ole mitään järkeä laittaa intuitiivisia määritelmiä, jos ne ei ole voimassa. Epäintuitiivinen ja tarkka artikkeli on paljon hyödyllisempi kuin virheellinen mutta intuitiivinen. Jälkimmäinen on arvoton. --Matikkapoika 7. tammikuuta 2007 kello 10.41 (UTC)

Muuten samaa mieltä minäkin olen, mutta en ole sitä mieltä, että laskutoimitus ja binäärioperaatio ovat synonyymejä keskenään. Se, että abstraktin algebran kursseilla laskutoimitus määritellään binäärioperaation synonyymiksi, ei tarkoita sitä, että ne yleisesti ottaen olisivat synonyymeja. Minusta laskutoimitus (ainakin arkikielessä) vastaa englanninkielen termiä arithmetic operation eli siis jotakin mitä sisältää sisällään peruslaskutoimitukset. Jos määritelmän perusteella yksi neljästä peruslaskutoimituksesta ei ole laskutoimitus, niin minusta määritelmässä on jotakin vikaa. Periaatteessahan määritelmille annetuille nimillä ei ole mitään väliä. Otetaan nyt esimerkkinä suhteellisen idioottimainen nimitys derivaattaryhmä, jolla ei ole mitään tekemistä derivaatan kanssa. Kuitenkin ne kaikki jotka pyörittävät derivaattaryhmiä ymmärtävät eron, joten mitään vahinkoa ei tapahdu. Kuitenkin laskutoimitus on käsite, johon kaikki suomalaiset törmäävät pakostakin. Sen takia minusta wikipediassa pitäisi ottaa huomioon se, mikä on laskutoimituksen intuitiivinen käsite. Eli joku härveli, johon syötetään lukuja (tai alkioita) ja joka sylkee ulos lukuja (tai alkioita). Yleensä olen tarkka määritelmistä ja vastustan maalaisjärjen käyttöä, mutta nyt tämä laskutoimitus on binäärioperaatio juttu on minusta niin hölmöä, että joku roti pitää olla. Eli oletko sitä mieltä, että peruslaskutoimitukset eivät välttämättä olekaan laskutoimituksia vai että peruslaskutoimituksia on vain kolme kappaletta? Miksi sitten merkintää $1+2$ pitäisi kutsua, jos ei laskutoimitukseksi? Faux 7. tammikuuta 2007 kello 12.50 (UTC)

Ja lisäksi, miten me saataisiin tämä suhtellisen turha väittely poikki? Olisiko hyväksyttävä kompromissi, että johdanto-kappale pysyisi suutinpiirtein nykyisellään ideanaan. Formaaliin määritelmä kappaleeseen sitten yhdistettäisiin molempien näkökulmat eli se artikkelin nykyinen määritelmä ja laskutoimitus binäärioperaationa näkökulma. Olisiko hyväksyttävä lopputulos? Faux 7. tammikuuta 2007 kello 12.58 (UTC)

Peruslaskutoimituksia on kolme kappaletta reaalilukujen joukossa, ei neljä: yhteen-, vähennys- ja kertolasku. Laskutoimituksen intuitiivinen käsite pitäisi saada kitkettyä pois ja käsitellä asioita oikeilla nimillä. 1+2 on laskutoimitus kunhan sovitaan, että relaatiolle +(a,b) käytetään merkintää a+b. Mikähän tässä kohdassa on epäselvää? Artikkeli tulisi kirjoittaa siten, että ihmiset oppisivat kunnolla sen, mikä on laskutoimitus ja mikä ei ole. Matematiikka on täynnä intuitiivisesti erikoisia asioita ja artikkelit tulisi kirjoittaa siten, että mahdollisimman moni huomaisi nämä ongelmakohdat. --Matikkapoika 7. tammikuuta 2007 kello 13.31 (UTC)

Olen täysin samaa mieltä Fauxin kanssa ja täysin eri mieltä Matikkapojan kanssa. Esimerkiksi tuohon anaalisretentiiviseen näkökantaan "laskutoimitus on binäärioperaatio eikä tasan varmasti ikinä koskaan mitään muuta tiks lukkoon" -näkökantaan törmäsin nyt ensimmäistä kertaa. Ja olen sentään selvinnyt hengissä jatko-opiskelijaksi asti koskaan tätä tiedostamatta. Ja jos tässä nyt kerran halutaan perseillä ja dorkailla yksikäsitteisten määritelmien tarpeesta, niin huomautanpa rehellisen ad hominem -hengessä Matikkapojalle, että myös TKK on määritelmän mukaan yliopisto, joten puhe "yliopisto- ja TKK-matikasta" kuin ne olisivat kaksi eri asiaa on määritelmällisesti sisällötöntä. Lähinnä kannattaisi huomioida se, että määritelmistä ei vallitse suurta yhteisymmärrystä, ja kirjoittaa artikkeli siltä pohjalta. Se, että jossain prujussa asetutaan asiassa tietylle kannalle, ei vielä ratkaise asian yksikäsitteisyyttä muuten kuin ko. prujun kontekstissa. 82.128.184.201 7. tammikuuta 2007 kello 15.06 (UTC) Matti Nuortio, Oulu.

Eikö tekstissäsi ole ristiriita. Olet selvinnyt jatko-opiskelijaksi tietämättä mikä on laskutoimitus, ja nyt väität, että määritelmäni on virheellinen, vaikka näit määritelmän ensimmäistä kertaa. Luepa ensiksi jostain algebran oppikirjasta laskutoimituksen määritelmä. Kannattaa ensiksi opiskella aihetta, josta haluaa kommentoida. Ja sanonta TKK:n ja yliopiston ero oli tahallista tautologiaa. --Matikkapoika 7. tammikuuta 2007 kello 20.13 (UTC)

Ongelma on tietenkin se, että jos $+:E\times E\rightarrow E$ on binäärioperaatio, niin funktion kuva $a+b$ on binäärioperaatio vain sillon, kun joukko $E$ sisältää binäärioperaatioita ja $a+b$ on yksi niistä. Matematiikka on kyllä täynnä intuitiosta poikkeavia asioita, mutta tässä kyllä minusta väkisin vängätään intuitiota vastaan. Mitä hyötyä saavutetaan sillä, että väkisin otetaan huono määritelmä, joka menee yleistä käsitystä vastaan? Varsinkin, kun samalle käsitteelle on jo hyvä termi, binäärioperaatio. On tietenkin hyvä, että kerrotaan mitä eroja eri operaatioilla on, esim. vähennyslasku ei kommutoi tai että nollalla ei saa jakaa, joten jakolasku ei ole binäärioperaatio. Itse olen ryhmien ja luuppien teoriaan perehtyvä jatko-opiskelija/tutkijakoulutettava, joten puuhailen binäärioperaatioiden kanssa päivittäin. Ja en kyllä kuolemaksenikaan keksi miksi laskutoimitus pitäisi yleisesti määritellä binäärioperaationa, varsinkin kun koko pienen ikäni ja opintojen ajan olen pitänyt jakolaskua ja neliöjuurta laskutoimituksina ja olen ajatellut, että laskutoimitus tietynlainen funktio samalla tavalla kuin luku on tietyntyyppinen joukko ja sen sitten tunnistaa, kun se kohdalle osuu. Ymmärrän kyllä, että matemaattista tekstiä kirjoittaessa on hyvä, että synonyymejä löytyy tai miksi pedagogisista syistä laskutoimitus voi olla magmojen kanssa työskenneltäessä hyvä nimitys. Tämä keskustelu alkaa jo muistuttaa sitä, että jos pari $(G,*)$ on ryhmä, niin kuinka on väärin kutsua joukkoa $G$ ryhmäksi. Aina voidaan konstruoida joukon $G$ sellainen binäärioperaatio $\star$, että pari $(G,\star )$ on isomorfinen minkä tahansa samaa mahtavuutta olevan ryhmän kanssa. Lisäksi parissa $(G,*)$ binäärioperaatio $*$ riittää jo täysin yksin kertomaan meille mikä on ryhmäoperaation joukko. Täten teknisesti ottaen kutsua joukkoa $G$ ryhmäksi menee niin metsään kuin vain voidaan, mutta käytännössä tämä on vakiintunut tapa ja kaikki tietävät mistä on kyse. Tapa voi olla huono, mutta minusta sitä ei enää kannata ruveta muuttamaan. Faux 7. tammikuuta 2007 kello 15.10 (UTC)

"Mitä hyötyä saavutetaan sillä, että väkisin otetaan huono määritelmä, joka menee yleistä käsitystä vastaan?" Ei tämä ole yleistä käsitystä vastaan. Määritelmäni on yleisesti hyväksytty matemaatikkojen piirissä. Kerropa miten sinä määrittelet laskutoimituksen (+ pätevä viite).--Matikkapoika 7. tammikuuta 2007 kello 20.13 (UTC)

Ja kun viitteitä kysyt, niin

• professori(mat.) Keijo Väänäsen tekemän Lineaarialgebra I-kurssin prujun heti alkuun todetaan, että reaali- ja kompleksilukujen kunnissa on neljä peruslaskutoimitusta määritelty. Lisäksi vektoriavaruutta määriteltäessä ei-tyhjälle joukolle $V$ ja kunnalle $K$ oletetaan määritellyksi laskutoimitukset $V\times V\rightarrow V$ ja $K\times V\rightarrow V$.
• professori(mat.) Vesa Mustosen luentojen pohjalta tehdyssä Analyysi II-kurssin prujussa vektoriavaruudelle on määritellyt vastaavat laskutoimitukset. Lisäksi vektorien sisätuloa kutsutaan laskutoimitukseksi, eli laskutoimitus voi olla myös kuvaus $V\times V\rightarrow K$.
• nykysuomen sanakirjan mukaan jakolasku on kertolaskun käänteislaskutoimitus ja opetusministeriön mukaan myös jakolasku on käänteislaskutoimitus (okei, tämä ei ole matemaattinen lähde, mutta osoittaa, että myös yleiskielessä jakolasku katsotaan laskutoimitukseksi)

Ilmeisesti et laske minua tai Mattia matemaatikoiksi, kun et meidän mutinoita hyväksy, mutta riittäisikö tuo osoittamaan sinulle, että määritelmäsi ei ole yleisesti hyväksytty matemaatikkojen piirissä. Olen sitä mieltä, että laskutoimitus on yleisesti lähinnä "tiedät kun sen näet käsite"-tyylinen käsite. Samalla tavalla kuin luvulle on suhteellisen typerää yrittää antaa kaiken kattavaa määritelmää, koska se kuitenkin on joko liian laaja tai jättää jotain oleellista pois. Kuten jo alussa totesin en ole koskaan aikaisemmin nähnyt laskutoimitukselle formaalia määritelmää. Laskutoimituksella on vahva intuitiivinen merkitys ja siksi sitä on vaikeaa/mahdotonta määritellä hyvin. Toisaalta sitä on hyvä käyttää synonyymina tietynlaisille kuvauksilla ja antamaan esimerkiksi vihiä siitä mitä roolia kuvaus tulee algebrallisessa struktuurissa näyttelemään. Täten joissain yhteyksissä (kuten esimerkiksi magmoja ja sen erikoistapauksia käsiteltäessä) on suhteellisen järkevää puhua laskutoimituksista, mutta se ei tarkoita sitä, että näissä yhteyksissä käytetty määritelmä olisi ehdoton totuus myös muissa yhteyksissä.

• Ihan mielenkiinnosta kysyn, että mitä hyötyä saavutetaan sillä, että määriteltäisiin jakolasku ja skalaarilla kertominen pois laskutoimituksista?
• Ja sopisiko nyt, että alku pysyisi idealtaan samana, mutta formaalin määritelmän osiossa todettaisiin, että sellaista ei ole, mutta sitä joskus ajatellaan tietynlaisena kuvauksena $\omega :X_{1}\times X_{2}\times \ldots \times X_{n}\rightarrow Y,\,$, varsinkin jos lähtö- ja maalijoukot ovat lukujoukkoja tai sitten useasti magmoja tai niiden yleistyksiä tutkittaessa laskutoimitus käsitetään tiukasti vain binäärioperaatioksi. Faux 8. tammikuuta 2007 kello 15.54 (UTC)

• Jättämällä jakolasku ja skalaarilla kertominen pois laskutoimituksien joukosta saadaan määritelmä ExE->E toimimaan, mikä on sen lisäksi vieläpä mielestäni varsin intuitiivista. Näin ollen laskutoimitus olisi helposti formalisoitavissa ja eikös matematiikassa pyritä täsmällisiin määritelmiin? Kyllähän kahden samantyyppisen joukon alkioilla voi useimmiten laskea kivasti, mutta mitä tarkoittaisi additiivinen kuvaus ExF->G, jos vaikka E on reaaliluvut ja F 2x1-matriisi? Miten laskutoimitus tulisi määritellä, jos joukot ovat eri tyyppiä? Jos vaikka skalaari kertaa vektori olisi laskutoimitus, olisiko myös skalaari kertaa säännöllinen monitahokas laskutoimitus?
• "Ja sopisiko nyt, että alku pysyisi idealtaan samana, mutta formaalin määritelmän osiossa todettaisiin, että sellaista ei ole, mutta sitä joskus ajatellaan tietynlaisena kuvauksena $\omega :X_{1}\times X_{2}\times \ldots \times X_{n}\rightarrow Y,\,$," Ei sovi. Formaali määritelmä nimittäin on olemassa. Määritelmä on lisäksi hyödytön, sillä tällaiset kuvaukset voidaan tarvittaessa kuvitella peräkkäisiksi laskutoimituksiksi. --Matikkapoika 8. tammikuuta 2007 kello 17.46 (UTC)

Määritelmien pitää kyllä olla täsmällisiä, mutta niiden ei välttämättä tarvitsi olla ekvivalentteja eri konteksteissä, kunhan kaikille on selvää, että mistä itseasiassa puhutaan. Eihän lukuakaan ole yksikäsitteisesti määritelty, vaan se mitä tarkoitetaan luvulla riippuu aina kontekstista. Lähinnä nimitys viitaa siihen missä asemassa obejkti on rakenteessa ja mitä ominaisuuksia siitä tutkitaan. Toisaalta käsittääkseni formaaleissa systeemeissä on aina käsitteitä, joita ei määritellä täsmällisesti. Mikä tuo formaali määritelmä on? Faux 8. tammikuuta 2007 kello 20.05 (UTC)

Älä viitsi pelleillä. Laskutoimituksen formaali määritelmä on annettu tämän keskustelusivun ensimmäisellä rivillä sinun kirjoittamana. Tietysti käsitteillä on monesti yhtäpitäviä määritelmiä, joista yksi otetaan määritelmäksi, ja muut todisteaan yhtäpitäväksi tämän kanssa. Jos kerta olen matematiikan jatko-opiskelija, miksi et kysy ohjaajaltasi ongelmasta? --Matikkapoika 8. tammikuuta 2007 kello 20.10 (UTC)

Se on yksi määritelmistä, mutta ei missään nimessä ainoa. Olen jo esittänyt lähteitä, jotka perustelevat, että se ei ole ainoa mahdollisuus, mutta et tunnu hyväksyvän niitä. Miksi? Käsittääkseni wikipedian pitäisi ottaa huomioon myös eriävät näkökannat. Kuten minä ja Matti olemme demonstroineet, laskutoimituksella ei ole yhtä ainoaa yleisesti hyväksyttyä määritelmää, ei edes matemaatikkojen piirissä. Artikkelissa tämän pitäisi ilmetä, mutta tahansa asti olet kategorisesti kieltäytynyt synteesin tekemisestä. Miksi?

Matematiikassa on valitettavan yleistä määritellä sama asia useilla eri ei-ekvivalenteilla tavoilla, ja vastuu huolellisuudesta jätetään usein lukijalle. Esimerkkinä käyköön renkaiden teoria. Onko renkaissa $0\not =1$? Entä onko renkas multiplikaatiivisen operaation suhteen assosiatiivinen? Onko renkaalla multiplikatiivista ykkösalkiota? Olen nähnyt renkaalle kirjallisuudessa ainakin kolme erilaista validiksi lukemaani määritelmää, jotka eivät missään nimessä ole ekvivalentteja keskenään. Määritelmätkin riippuvat kovasti kontekstista. Faux 9. tammikuuta 2007 kello 14.39 (UTC)

Kirjoitin sivulle eri määritelmät ja kerrotaan, että tilanteen mukaan käytetään tiettyä määritelmää. Oletko tyytyväinen artikkelin nykyiseen määritelmiin? Laitoin ne määritelmät, joihin löytyi kirjallisuudesta viite, joskin en ole lukenut Mustosen tai Väänäsen luentomuistiinpanoja. Nykysuomen sanakirjaa en pidä tässä tapauksessa luotettavana lähteenä. Et vielä ole antanut lähdettä, jonka mukaan kuvausta, jossa funktio ottaa arvoja yhdestä tai yli kahdesta joukosta, on laskutoimitus. Siksi poistin tuon neliöjuuren laskutoimituksien joukosta. --Matikkapoika 9. tammikuuta 2007 kello 18.49 (UTC)

Mie muutin formaalia määritelmää lähemmäksi omaa visiotani eli kohti sitä, että mitään yleispätevää määritelmää ei ole. Viittaukset luentomuistiinpanoihin on minusta kehnoja, koska niihin on lähes mahdotonta päästä käsiksi, ellei sitten asu Oulussa. Siihen HY:n prujuun voisi olla ehkä hyvä lisätä linkki, jos jaksat. Nykysuomen sanakirja ja muut ei-matemaattiset sanakirjalähteet ovat minusta luotettavia lähteitä johdantoon, koska laskutoimituksella on oma merkityksensä puhutussa kielessä riippumatta siitä miksi matemaatikot sen päättävät määritellä. Ellemme sitten päätä jakaa artikkelia kahteen osaa (vrt. kunta). Neljä peruslaskutoimitusta on sen verran vakiintunut käsite, että minusta niistä kannattaa mainita. Muutin neliöjuuren juuren ottamiseksi, jolloin se muuttui kaksipaikkaiseksi funktioksi, kuten potenssiin korotus, joka ei myöskään ole binäärioperaatio reaaliluvuissa yleisimmällä tasollaan. Operaatio ja operaattori teksti ei enää sopinut tähän yhteyteen, joten poistin ne kokonaan. Ne voi myös siirtää jonnekin muualle, jos niistä jotakin hyötyä tuntuisi olevan. Faux 9. tammikuuta 2007 kello 21.22 (UTC)

Miksi muutos oli täyttä roskaa? Faux 9. tammikuuta 2007 kello 21.25 (UTC)

Laskutoimituksellako ei ole määritelmää? Olenhan antanut sinulle sen. Väität edelleen juuren ottamista laskutoimitukseksi, vaikka et ole antanut mitään määritelmää, jossa laskutoimitus voitaisiin tehdä yhdelle alkiolle. Et myöskään ole antanut mitään määritelmää, miksi reaalilukujen jakolasku olisi laskutoimitus. Minun antamassani määritelmässä tuo on kumottu, samoin kuin antamissasi lähteissä. Okei, ehkä tuo joukko-opillisen yhdisteen voisi palauttaa artikkeliin, sillä se on totta. Mutta miksi ihmeessä et kerro määritelmää, missä neliöjuuri tai muu olisi laskutoimitus? Voit hyvin varmistaa monilta matemaatikoilta, että laskutoimituksella on todellakin määritelmä. Miksi et tee näin? Sen sijaan väität virheellisesti neliöjuurta ja reaalilukujen jakolaskua laskutoimitukseksi, vaikka se ei ole minkään esitämäni tai esittämäsi määritelmän mukaan mahdollista. --Matikkapoika 9. tammikuuta 2007 kello 21.42 (UTC)

Ja minä olen perustellut, että määritelmäsi ei ole yleispätevä ja että laskutoimitusta ei aina pyritä edes määrittelemään. Antamissani lähteissä ei ole edes pyritty määrittelemään laskutoimituksia, vaan tiettyjä kuvauksia vain kutsutaan laskutoimituksiksi. Kaiken tämän inttämisen sivussa sinä välttelyt kahta tärkeää kysymystä. Miksi laskutoimitus pitäisi määritellä formaalisti yhdellä yleispätevällä tavalla? Ja mitä hyötyä siitä saadaan, että suurinosa suomalaisista joutuisivat uudestaan opettelemaan, että jakolasku ja juuren ottaminen eivät ole laskutoimituksia? Faux 9. tammikuuta 2007 kello 22.25 (UTC)

Tietokonetekninen määritelmä

Kannattaisiko artikkelissa huomioida myös se, että tietokonetekniikassa koneiden laskunopeutta arvioitaessa termi "laskutoimitus" tarkoittaa jotain ihan muuta? Floppeja laskettaessahan puhutaan vain tiettyjen liukulukulaskutoimitusten nopeudesta. Muiden, meidän mielestämme ehkä laskutoimitusten, nopeutta sitten arvioidaan näiden perustoimitusten nopeuden avulla. 82.128.184.201 7. tammikuuta 2007 kello 15.14 (UTC) Matti Nuortio, Oulu

Kommenttipyynnön perustelut

Olen väsynyt tähän loputtomaan inttämiseen, ja sen takia pyydän tähän artikkeliin kommenttipyyntöä. Matikkapoika on täysin jumittunut omaan näkökantaansa, että laskutoimitus pitäisi määritellä formaalisti ennenkuin siitä voisi puhua. Minäkin olen juoksuhaudassa sen puolesta, että järkeäkin ja intuitiota saisi käyttää välillä, varsinkin kun puhutaan alkeismatematiikassa runsaasti käytetyssä termistä! Omassa ehdotuksessani yritin tuoda tätä esille, joka oli matikkapojan mielestä täyttä roskaa. Tähdennäkin sitä, että laskutoimitusta ei monestikaan edes yritetäkkään määritellä, ja sen takia siitä on lähes mahdotonta löytää kantaani tukevia määritelmiä! Aina kun edistyneemmässä matematiikassa laskutoimitus määritellään, on määrittely tiukasti kiinni tarkastelun näkökulmaan, kuten esimerkiksi magmoissa. Tällöin määritelmä on pätevä vain tässä kontekstissa. Suurin osa suomalaisista tietävät mikä laskutoimitus on vaikkeivat osaisikaan ruveta määrittelemään sitä, ja artikkelin pitäisi huomioida tämä fakta! Se, että vaaditaan tiukkaa yhtenäistä määritelmää, jota sitten pitäisi yrittää muka noudattaa tätä kynsin ja hampain kuolemaan asti. Laskutoimitukselle ei tarvitse antaa kaikkiin tilainteisiin sopivaa määritelmää. Se vain johtaa typeryyksiin, kuten että jakolasku ei olisi laskutoimitus.

Ensinnäkin linkkejä siihen, että meillä on neljä peruslaskutoimitusta (joista jakolasku on yksi):

• katso esimerkiksi sivu 17
• katso sivu 2
• Simo K. Kivelä puhuu

Googlettamalla löytyy lisää, jos kiinnostaa. Loput perusteluni aikaisemmassa keskustelussa. Faux 9. tammikuuta 2007 kello 22.07 (UTC)

Muutin artikkelin melkein samaksi kuin aikaisemman. Haluaisin kuulla mitä asiavirheitä artikkelissä on? Yleisesti potenssiinkorotus ja juuren otto käsitetään laskutoimituksiksi. Sitä paitsi, potenssiin korotus ei ole yleisesti ottaen binäärikuvaus, koska yleensä toimitusta nolla potenssiin nolla ei määritellä(puhumattakaan negatiivisten lukujen potenssit...). Juuren ottaminen taasen on kaksipaikkainen funktio, jos n:nnen juuren n otetaan mukaan argumentiksi, jos tämä on ongelma. Mikäli poistat juuren, niin loogisesti myös potenssiin korotuksen pitää väistyä. Mikäli vaihdat artikkelin takaisin vanhaan, niin korjaa ainakin selvät virheet sieltä. Siinä n-paikkainen funktio on sinun määritelmäsi mukaan on laskutoimitus, kun n=2 ja $X_{1}=X_{2}=Y$. Lisäksi Väänänen & Mustonen eivät yritäkään määritellä laskutoimitusta, vaan puhuvat kyseessä olevista kuvauksista laskutoimituksina. Väänänen myös puhuu kunnassa olevista neljästä peruslaskutoimituksesta, sama asia mainitaan prujussa Niemenmaa: Algebra II. Lisäksi seuraavissa lauseissa on selvä ristiriita: Niin ikään määritelmästä seuraa, että reaalilukujen jakolasku ei ole laskutoimitus vs. Rationaalilukujen jakolasku määriteltynä funktiona $\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} -\{0\}\rightarrow \mathbb {Q}$ on esimerkki laskutoimituksesta.... Jotenkin kai pitäisi perustella miksi toinen on ja ei ole laskutoimitus. Faux 10. tammikuuta 2007 kello 14.41 (UTC)

Miten Väänänen & Mustonen määrittelevät laskutoimituksen? Et ole kertonut sitä vielä. Minä taas olen antanut laskutoimituksen määritelmän lähteineen, joten anna pätevä lähde.--Matikkapoika 10. tammikuuta 2007 kello 14.47 (UTC)

Etkö ymmärrä, he eivät määrittele laskutoimitusta, vaan puhuvat tiettyistä kuvauksista laskutoimituksina. Sitä paitsi, lähteesi määrittelee tarkasti ottaen objektin joukon E laskutoimituksen. Meillä ei ole mitään takuuta, että tämä yrittää määritelmä yrittää kattaa kaikki laskutoimitukset. Faux 10. tammikuuta 2007 kello 14.49 (UTC)

Juuri niin. Korostin tätä havainnollistaakseni ongelmaa. Lähteessä laskutoimitusta ei ole määritelty, joten he olettavat sen esitiedoissa tunnetuksi. Annapa siis parempi lähde laskutoimituksen määritelmälle. --Matikkapoika 10. tammikuuta 2007 kello 14.53 (UTC)

Et ole vielä vastannut miksi laskutoimitukselle pitäisi olla yksi kaiken kattava formaali määritelmä? Mitä vikaa epävirallisessa määritelmässä on vai onko sinun vaikea ymmärtää, että eri käsitteillä on eri määritelmiä eri yhteyksissä? Mitä hyötyä siitä saadaan, että jakolasku ei ole laskutoimitus? Helpottuuko kommunikointi, vai kaunistuuko joku teoria? Faux 10. tammikuuta 2007 kello 14.55 (UTC)

Eri ihmisillä voi olla erilainen intuitio laskutoimituksista. Määrittelemällä laskutoimitus formaalisti voi jokainen ihminen tarkistaa, onko joku asia laskutoimitus vai ei. Tietysti kommunikointi ja teoria yksinkertaistuvat, kun ihmiset voivat ristiriitaisuudet tarkastaa määritelmästä. --Matikkapoika 10. tammikuuta 2007 kello 15.01 (UTC)

Mutta tuo määrittely ei ole oikotie onneen. Mikä esimerkiksi on luvun määritelmä? Silti lukuteoreetikot porskuttavat mukavasti eteenpäin. En silti ymmärrä mitä hyötyä siitä on, että joku huomaa, että perskelus ku tuo jakolasku ei ookkaan laskutoimitus. Tällöin neljälle peruslaskutoimitukselle pitäisi keksiä uusi nimi ja kommunikointi vaikeutuisi. Pitää myös muistaa, että laskutoimitukselle on merkitys formaalin matematiikan ulkopuolellakin, joten sekin puoli pitäisi ottaa huomioon. Ja kuten olen jo demonstroinut, formaalissakin matematiikassakin laskutoimitus voi olla jotain muuta kuin binäärioperaatio, joten yhteisymmärrystä ei ole. Puhu binäärioperaatiosta, jos haluat olla tarkkana, niin mie ainakin teen... Mutta mie taidan lopetella tämän väittelyn tähän. Muokkaa miten haluat, mutta ota esittämäni kommentit huomioon. Faux 10. tammikuuta 2007 kello 15.12 (UTC)

Lisätään nyt vielä, että kommunikaatio ei tietenkään helpotu ellei formaalista määritelmästä tule yleisesti hyväksytty, mitä se ei nyt ole. Lähinnä epäintuitiivinen määritelmä vain sotkee kommunikaatiota. Että se pitäisi ottaa huomioon artikkelissa, koska joku koululainen saattaa vahingossa tänne osua ja mennä sekaisin, jos jakolasku ei olekaan laskutoimitus, vaikka niin taidetaan kaikissa kouluissa opetetaan. Mutta mää yritän nyt kontribuoida vapaa-ajallani jotakin vähän hyödyllisempää tämän jälkeen, vaikka kirjoittaa Hallin lauseita tai ryhmien normaaleista ketjuista. Voidaan sitten vaikka kinastella siitä, kumpi on parempi määritelmä ryhmän ketjuille joko sykliset ketjuntekijät vai kommutatiiviset ketjuntekijät... =) Faux 10. tammikuuta 2007 kello 15.24 (UTC)

Hyvä. Ei pidäkään takertua liikaa pikkuseikkoihin. Kokemuksesta voin sanoa, että monet ongelmat olen matematiikassa välttänyt pelkästään sillä, että olen opetellut määritelmät kunnolla. Suosittelen samaa kaikille matematiikasta kiinnostuneille. Mukavaa, että olet opetellut paljon algebraa ja pystyt parantamaan ja luomaan uusia artikkeleita aiheista, joista moni ei tiedä mitään.

Kokemuksesta (joulukuu 2006) voin sanoa, että itsekin ihmettelin erästä määritelmää, sillä se tuntui olevan intuition vastainen. Juttelin aiheesta proffan kanssa ja hän selitti määritelmän perusteellisesti. Juttelutuoki oli antoisa ja tiedän nyt taas enemmän aiheesta. Ei määritelmiä keksitä sen takia, että ihmiset voisivat saivarrella toisilleen. Määritelmät tehdään tarkoiksi, jotta tutkijat voisivat perustella toistensa vääriä väittämiä tarvittaessa lähtien niistä. Jos esimerkiksi laskutoimituksella ei olisi määritelmää, voisi tätä kiistelyä käydä ikuisuuden.

On hienoa, että tiedät matematiikasta ilmeisen paljon ja lahjoitat tietojasi Wikipedian hyväksi. Tieteestö puhuttaessa on aina oltava tarkkana ja pystyä perustelemaan väitteensä. Muista tämä kun lisäilet faktoja artikkeleihin. Minäkin teen jatkuvasti virheitä matematiikassa, mutta yleensä onneksi löydän jonkun, joka osoittaa virheellisyyteni. Näin pystyn jatkossa olemaan saman asian kanssa tarkempi ja korjaamaan muiden tekemän saman virheen. --Matikkapoika 10. tammikuuta 2007 kello 16.15 (UTC)

Vektorien ja matriisien laskutoimitukset

Ensin tarinaa vektoreista ja matriiseista. Jäljempänä esitys artikkelin rakenteeksi oman otsikkonsa alla.

Lineaarialgebrassa poikkeuksetta seuraavat kolme mielletään laskutoimituksiksi: vektorien yhteenlasku, vektorin kertominen skalaarilla, mahdollinen vektorien sisätulo. Jos laskutoimitus = binäärioperaatio, vain ensimmäinen eli yhteenlasku on laskutoimitus. Tässä ei ole tietenkään lineaarialgebran kontekstissa mitään järkeä.

Matriisien maailmassa puolestaan usein mielletään laskutoimituksiksi matriisisumma, -tulo, ja mahdollisesti muita operaatioita. Jos laskutoimitus = binäärioperaatio, niin esimerkiksi tulo on laskutoimitus vain neliömatriiseille. Tulo ei tällöin ole laskutoimitus sopivan kokoisille aidosti suorakulmaisille m x n ja n x p -matriiseille. Vaikka näillekin tulo on aivan hyvin määritelty! Tässä ei tietenkään ole matriisien kontekstissa mitään järkeä; kyllä tulosta on aina mielekästä puhua laskutoimituksena, kunhan se vain on määritelty.

Mahdollisia muita operaatioita, joita voitaisiin mieltää matriisien laskutoimituksiksi. Nämä tosin ovat vähän kyseenalaisempia kuin ym. matriisitulo, joka ainakin minusta on selvästi laskutoimitus. Determinantin otto ainakin voisi olla. Vastaavasti jäljen (trace) otto. Jonkun mielestä myös erilaisten tulohajotelmien etsiminen voisi olla. Tähän liittyen esim. ominais- ja singulaariarvojen laskeminen voisi olla. Singulaariarvohajotelmaan perustuva matriisin neliöjuuri voisi olla.

Kaikkiaan nämä tekstikappaleet yrittävät esittää, että laskutoimituksen ymmärtäminen riippuu paljon siitä, mitä objekteja on tarkoitus "laskea": lukujako, vai vektoreita, vai matriiseja, vai abstraktisti ryhmän tmv. alkioita jne jne jne.

Tämän alaotsikon sisentämättömät kappaleet signeeraa: 82.128.184.201 10. tammikuuta 2007 kello 18.36 (UTC) Matti Nuortio, Oulu

Entäpä olisiko funktioavaruudessa laskettu normi laskutoimitus? Tai sisätulo tai dualiteetti? 82.128.184.201 10. tammikuuta 2007 kello 18.41 (UTC) Matti Nuortio, Oulu

Esitys artikkelin rakenteeksi

Esitän, että artikkeli jaettaisiin ainakin neljään osaan.

Osalla tarkoitan tietysti sitä, että artikkelissa olisi monta alaotsikkoa. En sitä, että hajotettaisiin sisältö moneen eri artikkeliin. Sekin voi tietysti joskus olla perusteltua, jos kunkin osion pituus uhkaa paisua. 82.128.184.201 10. tammikuuta 2007 kello 18.39 (UTC) Matti Nuortio, Oulu

1) Aritmeettiset peruslaskutoimitukset. Voisi sisältää selostusta yleisimmästä kadunmiehen intuitiosta sanan "laskutoimitus" merkityksestä. Lopussa voisi olla maininnat neliöjuurista, potensseista jne. "Joskus näitäkin pidetään laskutoimituksina."

2) Binäärinen operaatio. "Toisinaan sana laskutoimitus ymmärretään termin binäärinen operaatio synonyymiksi. Binäärinen operaatio on abstraktin algebran käsite --" Tämä voisi olla artikkelin kaikista suurin, pähein, komein ja räiskähtelevin osuus, jotta Matikkapoikakin saa sielulleen rauhan.

3) Muita matemaattisia tulkintoja. Esimerkiksi maininnat siitä, mitä "laskutoimitus" voi tarkoittaa vektoreiden ja matriisien kontekstissa. Huomautus siitä, että kaikki näistä eivät ole binäärisiä operaatioita; osa on.

4) Tietokonetekninen tulkinta. Ts. laskutoimitus = liukulukulaskutoimitus. Tähän voisi liittää vähän tarinaa flopeista ja semmoisesta. Voisi myös mainita, että ylempien tulkintojen mielessä "laskutoimitus" voi koostua sarjasta useita liukulukulaskutoimituksia. En osaisi itse kirjoittaa tästä hyvin, kun en tietokonetekniikasta niin paljoa tiedä. Mutta jos joku tajuaa ajatukseni, niin kirjoittakoon tämän osion.

Tämän alaotsikon sisentämättömät kappaleet signeeraa: 82.128.184.201 10. tammikuuta 2007 kello 18.36 (UTC) Matti Nuortio, Oulu

Matti on hyvä ja luo itselleen käyttäjätunnuksen sekä toteuttaa suunnitelmaansa. Muuten kaikki väsytetään keskustelulla. Muokkaa rohkeasti yhteistyössä! --jkv 16. tammikuuta 2007 kello 16.49 (UTC)

Nyt on käyttäjätunnus, vaan aikaa artikkelin uusiksi kirjoittamiseen ei toistaiseksi ole. Matti Nuortio, Oulu, Finland 29. tammikuuta 2007 kello 11.38 (UTC)

Kielilinkit väärin?

Eikö tämän artikkelin aihetta vastaava englanninkielinen artikkeli ole pikemminkin en:Operation (mathematics) (ja vastaavat muunkieliset artikkelit) kuin en:Calculation? Osaisiko joku perehtyneempi ottaa kantaa? --Herra Maka (keskustelu) 13. kesäkuuta 2014 kello 10.52 (EEST)

Tämä on mielestäni totta. Laskutoimitus esittelee yhden laskun, jossa yksi/kaksi lukua voidaan muuntaa uudeksi luvuksi. Calculation taas taas esittelee laajemman käsitteen laskelma, jossa mutkikaskin useamman laskutoimituksen sarja (algoritmi) suoritetaan saadakseen selville tulos (keskiarvon laskeminen). Vaihetaanko luokka? --Jari Hokkanen (keskustelu) 13. kesäkuuta 2014 kello 13.55 (EEST)

Mitä ajattelette Laskeminen sijainnista sanakirjassa? en:Calculation? --Jari Hokkanen (keskustelu) 13. kesäkuuta 2014 kello 14.01 (EEST)