Keskinormaali

Keskinormaalin konstruktio harpilla ja viivaimella.

Keskinormaali on geometriassa suora, joka kulkee janan keskipisteen kautta eli jakaa sen kahteen yhtä suureen osaan ja on samalla janan normaali. Janan ja normaalin välinen kulma on 90°.

Punainen suora on janan AB keskinormaali. Se jakaa janan kahteen yhtäpitkään osaan ja kulkee kohtisuorasti sen yli.

Keskinormaali on niiden pisteiden ura, joiden etäisyys janan kummastakin päätepisteestä on yhtä suuri.

Janalla

Janalle voidaan piirtää mihin tahansa pisteeseen normaali, mutta janalla on vain yksi keskinormaali. Keskinormaali on tasolle syntyvä ura, joka koostuu kummastakin janan päätepisteestä yhtä kaukana olevista pisteistä.

Keskinormaalin konstruktio

Janalle voidaan piirtää keskinormaali käyttäen vain harppia ja viivainta. Merkitään janan päätepisteet A ja B. Otetaan harppiin säteeksi janan mitta ja piirretään ympyrät keskipisteinään A ja B. Ympyränkaaret leikkaavat kahdessa pisteessä C ja D, mikäli säteet ovat riittävän pitkät. Pisteen C etäisyydet janan päätepisteistä A ja B ovat yhtä suuret, ja samoin on pisteen D kohdalla. Silloin C ja D ovat kaksi keskinormaalin pistettä. Piirretään pisteiden C ja D kautta keskinormaalin suora.

Kolmiossa

Kolmiossa keskinormaaliksi kutsutaan myös sitä janaa, joka jää keskinormaalista kolmion sisään. Janan päätepistettä kolmion sivulla kutsutaan keskinormaalin kantapisteksi. Keskinormaali ei yleensä kulje vastaisen kulman kärjen kautta ja näin käy vain tasasivuisessa kolmiossa tai tasakylkisen kolmion huipussa.

Keskinormaalien leikkauspiste

Kaikki kolme kolmion keskinormaalia leikkaavat samassa pisteessä. Tätä pistettä kutsutaan kolmion merkilliseksi pisteeksi ja Eulerin suoran yhdeksi pisteeksi.

Kolmion ympäri piirretty ympyrä

Tämä piste on kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste. Koska keskipiste on ympyrän keskipiste ja kolmion kärjet sijaitsevat ympyrällä, on ovat janat keskipisteestä kolmion kärkiin ympyrän säteitä ja siten keskenään yhtä pitkät. Keskipiste on siten piste, joka on yhtä kaukana kolmion kaikista kärjistä. Yhtä pitkien säteiden rajoittamat kolmiot ovat siten tasasivuisia kolmioita. Keskinormaalit ovat näiden kolmioiden korkeusjanat ja halkaisevat kolmiot kahteen yhtenevään suorakulmaiseen kolmioon.

Kolmiolla on kolme keskinormaalia, yksi kullakin sivulla. Keskinormaalit eivät useinkaan kulje vastakkaisen kärjen kautta. Ne leikkaavat yhteisessä pisteessä.

Keskinormaalien leikkauspiste on kolmion ympäri piirrettävän ympyrän keskipiste.

Ympyrän siniset säteet on merkitty leikkauspisteestä H kolmion kärkiin A, B ja C. Niiden rajoittamat kolmiot AHC, BHC ja AHB ovat tasakylkisiä kolmioita.

Analyyttinen geometria

Tasogeometriassa

Merkitään janan päätepisteitä $\scriptstyle A(x_{A},y_{A})$ ja $\scriptstyle B(x_{B},y_{B})$. Janan keskipiste M on $\scriptstyle M(x_{0},y_{0})=M\left({\frac {x_{B}+x_{A}}{2}},{\frac {y_{B}+y_{A}}{2}}\right).$ Tämän pisteen kautta kulkeva normaali on janan keskinormaali. Sen kulmakerroin päätellään janan kulmakertoimesta, joka on

$k_{j}={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}.$

Kulmakertoimien kohtisuoruusehdon mukaisesti normaalin kulmakertoimeksi saadaan

$k_{n}={\frac {-1}{k_{j}}}=-{\frac {x_{B}-x_{A}}{y_{B}-y_{A}}}.$

Keskinormaalin yhtälö voidaan kirjoittaa keskipisteen M ja kulmakertoimen k_n avulla

$y-{\frac {y_{B}+y_{A}}{2}}=-{\frac {x_{B}-x_{A}}{y_{B}-y_{A}}}\left(x-{\frac {x_{B}+x_{A}}{2}}\right),$

joka on normaalimuodossa

$(x_{B}-x_{A})x+(y_{B}-y_{A})y-{\tfrac {1}{2}}\left((y_{B}^{2}-y_{A}^{2})+(x_{B}^{2}-x_{A}^{2})\right)=0.$

Katso myös

• Kulmanpuolittaja jakaa kolmion kulman kahteen yhtäsuureen osaa.
• Keskijana eli mediaani kulkee kolmion kärjestä ja jakaa kolmion vastaisen sivun kahtia.

Lähteet

• Väisälä Kalle: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf).
• Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste) users.utu.fi. 2012. Turun yliopisto. Viitattu 14.12.2012.
• Kurittu, Lassi: Geometria (pdf) (luentomoniste) 2006. Jyväskylän: Jyväskylän Yliopisto.
• Seppänen, Raimo et al.: MAOL. (lukion taulukkokirja) Helsinki: Otava, 2006. ISBN 951-1-20607-9
• Weisstein, Eric W.: Medial Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

• Weisstein, Eric W.: Pedal Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
• Weisstein, Eric W.: Perpendicular Bisector Theorem (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
• Weisstein, Eric W.: Perpendicular Bisectort (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)