Kendallin järjestyskorrelaatiokerroin

Kendallin järjestyskorrelaatiokerroin, eli Kendallin tau on ei-parametrinen tilastollinen tunnusluku kahden järjestysasteikollisen suureen välisen korrelaation mittaamiseen. Testin kehitti Maurice Kendall, vuonna 1938.

Määritelmä

Olkoon $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\dots ,(x_{n},y_{n})$ havaintoja muuttujien $X$ ja $Y$ yhteisjakaumasta. Parit $(x_{i},y_{i})$ ja $(x_{j},y_{j})$ ovat samansuuntaisia, mikäli $x_{i}>x_{j}$ ja $y_{i}>y_{j}$, tai $x_{i}<x_{j}$ ja $y_{i}<y_{j}$. Muuten parit ovat vastakkaissuuntaisia. Määritelmän mukaan mikäli $x_{i}=x_{j}$ tai $y_{i}=y_{j}$ parit eivät ole vastakkais- eivätkä samansuuntaisia.

Kendallin tau-järjestyskorrelaatiokerroin on

$\tau ={\frac {n_{s}-n_{v}}{n_{0}}},$

missä

$n_{s}={\text{samansuuntaisten parien lukumäärä}}$

$n_{v}={\text{vastakkaissuuntaisten parien lukumäärä}}$

$n_{0}=n(n-1)/2{\text{ (parien lukumäärä yhteensä)}}$.

Näin ollen taun kertoimen arvo on välillä $-1\leq \tau \leq 1$.

Merkitsevyyden testaaminen

Kendallin järjestyskorrelaatiokerrointa voidaan käyttää testisuureena testaamaan hypoteesia kahden muuttujan välisestä riippuvuudesta. Testi ei vaadi oletuksien muuttujien $X$ tai $Y$ jakaumista tai näiden yhteisjakaumasta.

Nollahypoteesin ollessa voimassa (muuttujien $X$ ja $Y$ ollessa riippumattomia) korrelaatiokertoimen $\tau$ otosjakauman odotusarvo on nolla. Tarkkaa jakaumaa ei voida ilmaista yleisesti tunnettujen jakaumien avulla, mutta se on laskettavissa otoskokojen ollessa pieniä. Suurille otoskoille voidaan käyttää approksimaatiota normaalijakaumasta keskiarvolla nolla ja varianssilla

${\frac {2(2n+5)}{9n(n-1)}}$.

Tasatulokset

Tilanteessa, jossa muuttujien järjestysluvuissa esiintyy tasatuloksia eli sidoksia voidaan tunnusluvusta käyttää versioita, joissa tasatulokset on otettu huomioon.

Aiheesta muualla

• Yhteiskuntatieteellinen tietoarkisto, menetelmäopetuksen tietovaranto