Kannanvaihto

Kannanvaihto tarkoittaa lineaarialgebrassa siirtymistä vektoriavaruuden kannasta toiseen. Kannanvaihto muuttaa vektorien koordinaatteja ja lineaarikuvausten matriiseja. Kannanvaihdon hyödyllisyys tulee esille silloin, kun laskutoimitukset yksinkertaistuvat kannasta toiseen siirryttäessä.

Kannanvaihtomatriisi

Kannanvaihtomatriisi on yksikäsitteinen ja säännöllinen neliömatriisi, joka muuttaa vektorien koordinaatit vanhan kannan suhteen ilmaistuista koordinaateista uuden kannan mukaisiksi.

Kannanvaihtomatriisin määritelmä

Olkoot $S=({\vec {u}}_{1},...,{\vec {u}}_{n})$ ja $T=({\vec {v}}_{1},...,{\vec {v}}_{n})$ vektoriavaruuden V kaksi kantaa. Kannanvaihtomatriisi kannasta S kantaan T on nxn-matriisi, jonka sarakkeina on kannan S vektoreiden koordinaattivektorit kannan T suhteen ja josta käytetään merkintää M(T←S). Kaikille vektoriavaruuden V vektoreille ${\vec {x}}$ pätee $[{\vec {x}}]_{T}$=M(T←S)$[{\vec {x}}]_{S}$, missä $[{\vec {x}}]_{T}$ on vektorin ${\vec {x}}$ koordinaattivektorin kannan T suhteen ja $[{\vec {x}}]_{S}$ vektorin ${\vec {x}}$ koordinaattivektorin kannan S suhteen.

Menetelmä kannanvaihtomatriisin määrittämiseksi

Kannanvaihtomatriisin M(T←S) saa määritettyä muuntamalla matriisin [M(E←T)|M(E←S)] redusoituun porrasmuotoon [I_n|A], missä $E=({\vec {e}}_{1},...,{\vec {e}}_{n})$ on vektoriavaruuden luonnollinen kanta. Tällöin A=M(T←S).

Esimerkkejä

Esimerkki 1

Olkoon $E=({\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3})$ vektoriavaruuden R³ luonnollinen kanta ja olkoon $S=({\vec {u}}_{1},{\vec {u}}_{2},{\vec {u}}_{3})$ vektoriavaruuden R³ toinen kanta, jossa ${\vec {u}}_{1}={\begin{bmatrix}1\ 2\ 4\end{bmatrix}}^{T}$, ${\vec {u}}_{2}={\begin{bmatrix}0\ 1\ 1\end{bmatrix}}^{T}$ ja ${\vec {u}}_{3}={\begin{bmatrix}1\ 3\ 3\end{bmatrix}}^{T}$. Tässä tapauksessa kannanvaihtomatriisi M(E←S) on helppo muodostaa, koska kannan S vektorien koordinaattivektorit kannan E suhteen ovat suoraan kannan S vektorit. Sama pätee aina luonnolliseen kantaan siirtyessä. Nyt siis

M(E←S)=${\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&3\\4&1&3\end{bmatrix}}$.

Esimerkki 2

Olkoot $S=({\vec {u}}_{1},{\vec {u}}_{2})$ ja $T=({\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2})$ vektoriavaruuden R² kantoja, joille ${\vec {u}}_{1}={\begin{bmatrix}2\ 1\end{bmatrix}}^{T}$, ${\vec {u}}_{2}={\begin{bmatrix}0\ 1\end{bmatrix}}^{T}$, ${\vec {v}}_{1}={\begin{bmatrix}1\ -1\end{bmatrix}}^{T}$ ja ${\vec {v}}_{2}={\begin{bmatrix}2\ 3\end{bmatrix}}^{T}$. Olkoon lisäksi ${\vec {a}}={\begin{bmatrix}1\ 5\end{bmatrix}}^{T}$. Määritetään kannanvaihtomatriisi M(T←S) muuntamalla matriisi ${\begin{bmatrix}1&2&|&2&0\\-1&3&|&1&1\end{bmatrix}}$ redusoituun porrasmuotoon ${\begin{bmatrix}1&0&|&4/5&-2/5\\0&1&|&3/5&1/5\end{bmatrix}}$. Tällöin M(T←S)=${\begin{bmatrix}4/5&-2/5\\3/5&1/5\end{bmatrix}}$. Vektorin ${\vec {a}}$ koordinaattivektoriksi kannan S suhteen saadaan laskemalla $[{\vec {a}}]_{S}={\begin{bmatrix}1/2\ 9/2\end{bmatrix}}^{T}$. Lasketaan vektorin ${\vec {a}}$ koordinaattivektori kannan T suhteen kannanvaihtomatriisin M(T←S) avulla. Saadaan

$[{\vec {a}}]_{T}$=M(T←S)$[{\vec {a}}]_{S}$=${\begin{bmatrix}4/5&-2/5\\3/5&1/5\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}1/2\\9/2\end{bmatrix}}$=${\begin{bmatrix}-7/5\\6/5\end{bmatrix}}$.

Kirjallisuutta

• Bernard Kolman ja David R. Hill: Elementary Linear Algebra with Applications, Ninth Edition, Pearson Education, 2008.
• David Poole: Linear Algebra - A Modern Introduction, Second Edition, Brooks/Cole, 2006.