Käänteisen etäisyyden menetelmä

Käänteisen etäisyyden menetelmät (engl. inverse distance interpolation) ovat yksinkertaisia monimuuttujaisia interpolaatiomenetelmiä, joilla lasketaan näytteiden arvojen avulla annetussa pisteessä $x\in \mathbb {R} ^{n}$ sijaitsevan suureen $f(x)$ arvo. Näytteet sijaitsevat yksi- tai monidimensioisissa pisteissä $x_{i}\in \mathbb {R} ^{n},n\geq 1$, joiden etäisyydet $d_{i}=||x_{i}-x||$ kohdasta $x$ voidaan määrittää. Etäisyys voi olla joko euklidinen etäisyys tai jokin muu etäisyysfunktion arvo, joka noudattaa metriikan perusteita. Kunkin arvioitavan kohdan arvo saadaan laskemalla kullekin näytteelle painokertoimet $p_{i}$, joiden avulla muodostetaan näytteiden arvoista $f_{i}$ painotettu aritmeettinen keskiarvo

$f(x)=p_{1}f_{1}+p_{2}f_{2}+\dots +p_{n}f_{n}.$

Tätä muotoa kutsutaan englanninkielisessä kirjallisuudessa usein Shepardin menetelmäksi. Se on eräs vanhimmista spatiaalisista interpolointimenetelmistä.

Painokertoiminen määritys

Etäisyyden laskeminen

Näytteen $x_{i}$ ja arvioitavan kohteen $x$ välinen etäisyys

$d_{i}=||x_{i}-x||$

lasketaan normaalisti niin, että metriikkana on euklidinen etäisyys. Kun interpolointi suoritetaan yksiulotteisena (x-akselia pitkin), saadaan etäisyydeksi x-koordinaattien erotuksen itseisarvo eli välimatka

$d_{i}=|x_{i}-x|.$

Kun interpolointi suoritetaan tasolla eli kaksiulotteisena, käytetään pisteiden koordinaateille $(x_{xi},x_{yi})$ ja $(x_{x},x_{y})$ Pythagoraan lauseen tulosta

$d_{i}={\sqrt {(x_{xi}-x_{x})^{2}+(x_{yi}-x_{y})^{2}}}.$

Kolmiulotteisessa tapauksessa voidaan pisteet merkitä $(x_{xi},x_{yi},x_{zi})$ ja $(x_{x},x_{y},x_{x})$ ja etäisyys laskea vastaavasti

$d_{i}={\sqrt {(x_{xi}-x_{x})^{2}+(x_{yi}-x_{y})^{2}+(x_{zi}-x_{z})^{2}}}.$

Käänteisen etäisyyden potenssit

Koska käytännössä ei yleensä merkitä etäisyyden käänteislukuja suoraan painokertoimiksi $p_{i}$, merkitään niitä vielä $q_{i}$. Usein etäisyyden käänteisluvut korotetaan potenssiin $r$

$q_{i}={\frac {1}{{d_{i}}^{r}}},$

mikä korostaa lähellä olevien näytteiden painoarvoa kaukana olevien kustannuksella. Mitä lyhyempi on näytteistä mitattujen arvojen riippuvuus toisistaan, sen korkeampi on valittu potenssi.

Painokertoimien normitus

Painokertoimille asetetaan yleensä ehto, että niiden summa tulee olla yksi

$p_{1}+p_{2}+\dots +p_{n}=1.$

Näin halutaan varmistaa, että interpolointi tuottaa arvoja, joilla on sama odotusarvo $\mu$ kuin näytteiden keskiarvo on eli

$E[f(x)]=E[p_{1}f_{1}+p_{2}f_{2}+\dots +p_{n}f_{n}]=p_{1}E[f_{1}]+p_{2}E[f_{2}]+\dots +p_{n}E[f_{n}]$

$=p_{1}\mu +p_{2}\mu +\dots +p_{n}\mu =\mu (p_{1}+p_{2}+\dots +p_{n})=\mu .$

Kukin käänteisen etäisyyden potenssi tulee siksi jakaa näiden kaikkien summalla

${\frac {1}{{d_{1}}^{r}}}+{\frac {1}{{d_{2}}^{r}}}+\dots +{\frac {1}{{d_{n}}^{r}}}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{{d_{i}}^{r}}},$

jolloin painokertoimiksi saadaan lausekkeet

$p_{i}={\frac {\frac {1}{{d_{i}}^{r}}}{\sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{{d_{i}}^{r}}}}},$

joiden summa on yksi.

Interpolointi näytteessä

Menetelmä ei toimi, jos yritetään laskea kohteen painokertoimia näytteen kanssa samassa pisteessä. Etäisyys näytteen $f_{i}$ ja kohteen $f(x)$ välillä on silloin nolla eikä nollalle ole määritelty käänteislukua. Algoritmiin lisätään siksi ehto, että kun kohteen etäisyys näytteestä $f_{i}$ on nolla (tai hyvin lähellä nollaa), kirjataan näytteen painoksi $p_{i}=1$ ja muille näytteille painoiksi $p_{j}=0,j\neq i.$ Näin menetelmä antaa näytteen $i$ kohdalla suoraan näytteen $f_{i}$ arvon ja menetelmästä tulee interpolointimenetelmä.

Interpolaation ominaisuuksia

Oikeassa reunassa on värikoodit eri näytteiden arvoista. Kun käytetään menetelmää ja interpoloidaan tasoalueella olevia tason pisteitä, saadaan kuvien mukaisia tuloksia sen mukaan, mitä eksponentin arvoa käytetään interpoloinnissa. Tekstissä eksponentti oli $r$, mutta kuvassa sitä edustaa parametri $p$. Huomaa. että näytteissä on käytetty vain arvoja 1 (keltainen) tai 0 (musta).

Koska menetelmässä huomioidaan vain näytteiden etäisyydet kohteestaan eikä näytteiden keskinäisiä etäisyyksiä, voi menetelmä painottaa suurestikin esimerkiksi kolmea läheistä näytettä. Näiden (todennäköisesti) lähes yhtäsuuret arvot saavat silloin kolminkertaisen painoarvon. Ongelma kierretään yleensä korvaamalla mainitut kolme näytettä yhdellä uudella näytteellä, jolle lasketaan arvoksi kolmen näytteen keskiarvo.

Kun käänteisen etäisyyden potenssin eksponentti kasvaa, kasvaa lähimmän näytteen painokerroin muiden näytteiden painokertoimien kustannuksella. Kunkin näytteen lähelle syntyy silloin leveä alue, jossa interpolaation antama tulos on lähes sama kuin näytteelläkin. Tämän ilmiön välttämiseksi eksponentin arvo tulee pitää matalana. Eksponentti $r=2$ tuottaa tyydyttävät interpoloinnit.

Interpoloitavan suureen arvot on piirretty sinisellä käyrällä. Näytteiden x-koordinaatit ja arvot U ovat kuvaajassa mustien pisteiden koordinaatteina (x,U).

Menetelmä on eksakti interpolointimenetelmä, sillä näytteen kohdalla se antaa aina arvoksi näytteen arvon. Näytteiden väleissä interpolaatiokäyrä taipuu kohti näytteiden keskiarvoa (viereinen kuva). Menetelmästä ei ole suurtakaan iloa, jos näytteiden välit ovat liian suuret, sillä samaan tulokseen pääsee keskiarvoa laskemalla.