Janan jakopiste

Janan AB jako sisäpisteellä P

Janan AB jako ulkopisteellä P

Janan jakopiste on geometriassa piste, joka sijaitsee janalla ja jakaa janan kahteen osaan. Yleensä jakopiste on janan sisäpiste. Erityisesti janan keskipiste on jakopiste, joka jakaa janan kahteen yhtäpitkään osaan.

Analyyttinen geometria

Lukusuora

Lukusuoraa voidaan pitää euklidisena yksiulotteisena avaruutena $\mathbb {R}$. Kaksi kohtaa x₁ ja x₂ lukusuoralla vastaavat tällöin avaruuden pisteitä ja niiden väli avaruuden janaa. Merkitään etäisyydet jakokohtaan P seuraavasti: |AP| = p ja |PB|=q. Silloin niiden välinen jakokohta m, joka lasketaan lukujen x₁ ja x₂ painoilla p ja q painotettuna keskiarvona, on:

$m={\frac {px_{1}+qx_{2}}{p+q}}$

Taso ja tila

Tason kaksiulotteinen euklidisessa avaruudessa janan päätepisteet ovat A(x₁, y₁) ja B(x₂, y₂). Janan AB sisäpiste P jakaa janan kahdeksi osaksi AP ja PB, joiden pituudet ovat |AP| = p ja |PB| = q. Silloin jakopiste P ilmaistaan päätepisteiden (x₁, y₁) ja (x₂, y₂) x-koordinaattien ja vastaavasti y-koordinaattien painojen p ja q painotettuina keskiarvoina:

$M=\left({\frac {px_{1}+qx_{2}}{p+q}},{\frac {py_{1}+qy_{2}}{p+q}}\right).$

Tilan kolmiulotteisessa avaruudessa janan päätepisteiden koordinaatit ilmaistaan A(x₁, y₁, z₁) ja B(x₂, y₂, z₂), jakopisteen P koordinaatit ovat:

$M=\left({\frac {px_{1}+qx_{2}}{p+q}},{\frac {py_{1}+qy_{2}}{p+q}},{\frac {pz_{1}+qz_{2}}{p+q}}\right).$

Lähteet

• Seppänen, Raimo et al.: MAOL. (lukion taulukkokirja) Helsinki: Otava, 2006. ISBN 951-1-20607-9

Aiheesta muualla

• Math Open Reference: Dividing a segment into several equal parts, (englanniksi)
• Math's fun: Cut a line into N segments, (englanniksi)