Jacobin polynomi

Matematiikassa Jacobin polynomit ovat luokka ortogonaalisia polynomeja. Ne saadaan hypergeometrisista sarjoista, missä sarjasta otetaan mukaan vain äärellisen monta termiä:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\frac {1-z}{2}}\right),$

missä $(\alpha +1)_{n}$ on Pochhammerin symboli), (Abramowitz & Stegun p561.) ja siten sillä on olemassa eksplisiittinen lauseke

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m},$

missä

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.$

Tässä kokonaisluvulle $n\,$ on voimassa

${z \choose n}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}},$

ja $\Gamma (z)\,$ on Gammafunktio, jolle $1/\Gamma (n+1)=0\,$ kaikilla $n=-1,-2,\dots \,$. Siten

${z \choose n}=0\quad {\hbox{for}}\quad n<0.$

Polynomit toteuttavat ortogonaalisuusehdon

$\int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\;dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm},$

kun $\alpha >-1$ ja $\beta >-1$.

Polynomeilla on symmetrisyysehto

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z),$ ja siten

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.$

Reaaliluvuilla $x$ Jacobin polynomi voidaan kirjoittaa muodossa

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s}{n+\alpha \choose s}{n+\beta \choose n-s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s},$

missä $s\geq 0\,$ ja $n-s\geq 0\,$. Jos neljä suuretta $n$, $n+\alpha$, $n+\beta$, and $n+\alpha +\beta$ ovat epänegatiivisia kokonaislukuja, voidaan Jacobin polynomi kirjoittaa muodossa

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s}\left[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.$

Summa voidaan laajentaa kaikille kokonaislukuarvoille, joilla kertomien argumentit ovat epänegatiivisia.

Tämä mahdollistaa Wignerin D-matriisin esittämisen Jacobin polynomiel avulla $d_{m'm}^{j}(\phi )\;$ ($0\leq \phi \leq 4\pi$) viite: L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, (1981)

$d_{m'm}^{j}(\phi )=\left[{\frac {(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\phi }{2}}\right)^{m-m'}\left(\cos {\frac {\phi }{2}}\right)^{m+m'}P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi ).$

Derivaatat

Jacobin polynomien k:nnes derivaatta johtaa esitykseen

${\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} z^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).$

Differentiaaliyhtälö

Jacobi polynomiat $P_{n}^{(\alpha ,\beta )}$ ovat ratkaisuna yhtälölle

$(1-x^{2})y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y=0.\,$