Ising-malli

Ising-malli on statistisen mekaniikan matemaattinen malli, jossa kullakin spinillä on kaksi mahdollista arvoa ja spin vuorovaikuttaa ainoastaan vieressään oleviin spineihin. Tavanomaisesti Ising-mallia käytetään yksinkertaistettuna kuvauksena ferromagnetismista. Kaksiulotteinen Ising-malli oli myös historiallisesti merkittävä sillä se tarjosi ensimmäisen eksaktisti ratkeavan esimerkin systeemistä jossa tapahtuu faasimuutos.

Historia

Ising-mallin keksi alun perin Wilhelm Lenz, mutta malli sai kuitenkin nimensä Lenzin oppilaalta Ernst Isingiltä, joka julkaisi ensimmäisen Ising-mallia koskevan artikkelin vuonna 1925. Tuolloin ratkaistiin vasta yksiulotteinen malli, jossa magneettista faasimuutosta ei ilmeenny. Virheellisesti Ising oletti, ettei faasimuutosta löydy useampiulotteisistakaan malleista, mutta hän oli väärässä, sillä kaksi- ja useampiulotteisissa Ising-malleissa faasimuutos ilmenee.

Kaksiulotteisen Ising-mallin ilman ulkoista magneettikenttää ratkaisi norjalainen fyysikko Lars Onsager vuonna 1944.

Matematiikkaa

Energia Ising-mallissa välittyy vierekkäisten spinien vuorovaikuttaessa toisiinsa. Energiaa siirtyy myös ulkoisen magneettikentän muuttaessa hilassa spinien suuntaa.

Spinhilassa spinit vaikuttavat vain vieressään oleviin spineihin ja kullakin spinillä voi olla joko arvo $S=-1$ tai $S=1$. Ising-mallissa järjestelmän energia määritellään yhtälöllä

$E=-\sum _{ij}J_{ij}S_{i}S_{j},$

missä siis summataan kaikkien vierekkäisten spinien tulo kerran. Alaindeksit $i$ ja $j$ kuvaavat vieretysten olevia spinejä. Jos vierekkäiset spinit ovat kummatkin samoja, niin tulo $S_{i}S_{j}=+1$ ja jos vierekkäisillä spineillä on eri spinluku, tulo on $S_{i}S_{j}=-1$. Yhtälössä $J_{ij}$ on kytkentävakio. Jos $J_{ij}>0$, niin kyseessä on ferromagneetti, jolloin järjestelmän kaikki spinit ovat samat. Kun $J_{ij}<0$, niin järjestelmä on antiferromagneettinen, jolloin joka toinen spin on 1 ja joka toinen -1. Jos $J_{ij}=0$, niin spinit eivät vuorovaikuta keskenään ja ovat siis täysin satunnaisessa järjestyksessä.

Aiheesta muualla

• K. Binder (2001), "Ising model", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104

• I. A. Stepanov, "Exact Solutions of the One-Dimensional, Two-Dimensional, and Three-Dimensional Ising Models", – Nano Science and Nano Technology: An Indian Journal. 2012. Vol. 6. No 3. 118–122. The paper is on the Journal’s website with a free access.