Homotetiakeskus

Homotetiakeskus on yksi euklidisen geometrian peruskäsitteistä. Sitä voidaan kuvailla samankaltaisuuden tai vastaavuuden keskukseksi. Homotetiakeskus on piste, josta vähintään kaksi geometrisesti samanmuotoista kuviota voidaan nähdä suurempana tai pienempänä suhteessa toisiinsa. Termiä käytetään myös yleisesti analyyttisessa geometriassa.

Kuva 1.

Homotetiakeskuksen sijainti

Homotetiakeskus voi sijata kuvioiden ulko- tai sisäpuolella. Jos ulkopuolinen piste on sijainniltaan molempien kuvioiden ulkopuolella ja niiden koko on suhteessa homotetiakeskukseen (kuva 1).

Homotetiakeskus saattaa olla myös siis sisäpuolinen piste. Tuolloin piste sijaitsee kappaleiden välissä (kuva 2). Ympyröillä on aina sisä- sekä ulkopuolinen homotetiakeskus.

Monikulmiot yleisesti

Kun kahdella geometrisella kuviolla on yhteinen homotetiakeskus, niin ne ovat yhtenäisiä toisiinsa nähden. Toisin sanojen, kuvioilla tulee olla samat kulmat vastaavissa pisteissä ja eroja voi olla ainoastaan suhteellisessa skaalautuvuudessa. Kuviot voidaan liittää toisiinsa projektiolla homotetiakeskuksesta. Homotetiakeskus voi olla joko ulkoinen tai sisäinen. Jos keskus on sisäinen, vähintään kaksi geometristä kuviota ovat skaalautuvia peilikuvia keskenään. Tämä voidaan ajatella myös, että myötäpäiväinen kulma yhdessä kuviossa vastaa toisen kuvion vastapäiväistä kulmaa.

Jos keskus on ulkoinen, kaksi kuviota ovat suoraan samanlaisia keskenään ja ne voidaan havaita peräkkäin toistuvina (kuva 1). Tärkeää on huomioida, että kuvioiden vastaavat kulmat ovat yhtä isot kuvion toistuessa.

Kuva 2.

Ympyrä

Ympyrät ovat euklidisen geometrian mukaisesti yhdenmuotoisia ja peilikuvallisesti symmetrisiä. Tämän vuoksi millä tahansa ympyräparilla on molemmat homotetiakeskukset, eli ulkoiset ja sisäiset. Ympyröiden homotetiakeskus sijaitsee ympyröiden yhteisellä keskilinjalla.

Homotetiakeskukset löytyvät tutkimalla ja piirtämällä. Halkaisijat piirretään molempiin ympyröihin niin, että ne tekevät saman kulman yhdessä keskilinjan kanssa. Halkaisijoiden tulee olla samansuuntaiset ja kulma α molemmissa ympyröissä sama (kuva 2). Piirretään suorat ympyröiden kaarella vastaaviin pisteisiin, niin saadaan suorat yhdistymään ulkoiseen homotetiakeskuskseen, esimerkiksi pisteet A1 ja A2 kuvassa 2.

Toisaalta jos piirretään suorat yhdestä kaaripisteestä täysin päinvastaiseen (diametriseen) kaaren pisteeseen, esimerkiksi pisteet A1 ja B2 (kuva 2), saadaan aikaiseksi kahden suoran leikkaus, jonka leikkauspisteessä sijaitsee sisäpuolinen homotetiakeskus. Nämä suorat saattavat olla myös ympyrän tangentteja, kuten suoran leikatessa pisteitä B1 ja A2 (kuva 2).

Mittakaava

Valitaan kuvion S ulkopuolelta jokin piste O, joka on siis homotetiakeskus. Olkoon k >0, eli positiivinen luku. On piirretty myös kuvio S’ (yhdenmuotoinen S kanssa) siten, että kuvioiden P ja P’ vastinpisteillä on seuraava yhteys: ${\vec {OP'}}=k={\vec {OP}}$

Tällöin saadaan kuviosta S’ homoteettinen kuvion S kanssa, jossa on käytetty mittakaavaa k. Jos esimerkiksi k >1, on kysymyksessä homoteettinen laajennus.

Lähteet

• Englanninkielinen Wikipedian sivu "Homothetic center".
• Majaniemi, Antti. Geometria: geometriaa, trigonomiaa ja vektorilaskentaa. Tietokotka

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Espoo: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6