Hilbertin aksioomat

Hilbertin aksioomat ovat matemaatikko David Hilbertin vuonna 1899 julkaisema geometrian aksioomajärjestelmä, joka käsittää 20 (alun perin 21) oletusta eli aksioomaa.

Hilbertin aksioomat ovat varsinaisesti avaruusgeometrian aksioomajärjestelmä, mutta sitä voidaan soveltaa myös tasogeometriaan. Tällöin voidaan kuitenkin jättää huomioon ottamatta ne aksioomat, joilla on merkitystä vasta, kun kaikki käsiteltävät pisteet ja suorat eivät ole samassa tasossa. Tasogeometriassa merkityksellisille insidenssiä, järjestystä ja yhtenevyyttä käsitteleville aksioomeille käytetään yleisesti merkintöjä (H1)…(H13).

Peruskäsitteet

Hilbertin aksioomajärjestelmässä oletetaan kuusi perustuvaa käsitettä, joista kolme on perusolioita, kolme niiden välisiä relaatioita. Perusolioita ovat:

• pisteet,
• suorat ja
• tasot.

Kolme perusrelaatiota ovat seuraavat:

• välissäolo, pisteiden välinen kolmipaikkainen relaatio (piste a on pisteiden b ja c välissä),
• insidenssi eli sisältyminen, kolme kaksipaikkaista relaatiota, joista yksi on pisteiden ja suorien välinen, toinen pisteiden ja tasojen välinen ja kolmas suorien ja tasojen välinen (piste on suoralla eli sisältyy suoraan, piste on tasolla, suora on tasolla)
• yhtenevyys, kaksi kaksipaikkaista relaatiota, toinen janojen ja toinen kulmien välinen; molemmille käytetään merkintää ≅.

Perusrelaatioita voitaisiin siis laskea olevan kuusi, mikäli suoran sisältyminen tasoon sekä pisteen sisältyminen suoraan ja tasoon lasketaan kolmeksi eri relaatioksi, samoin janojen ja kulmien yhtenevyydet kahdeksi eri relaatioksi. Hilbert itse kuitenkin käsitti kaikki "sisältymiset" sekä molemmat "yhtenevyydet" oleellisesti samojen perusrelaatioiden eri tapauksiksi.

Sanan "sisältyy" sijasta voidaan käyttää muitakin ilmaisuja. Esimerkiksi voidaan sanoa, että piste A on suoralla a, A on suoran a piste tai a kulkee A:n kautta. Jos a kulkee sekä A:n että B:n kautta, voidaan sanoa, että a yhdistää pisteet A ja B. Jos piste A sisältyy sekä suoraan a että suoraan b, sanotaan, että suorilla a ja b on yhteinen piste A tai että suorat a ja b leikkaavat toisensa pisteessä A.

Käsitteet jana, kulma ja kolmio voidaan määritellä pisteiden ja suorien sekä välissäolo- ja sisältymisrelaatioiden avulla. Esimerkiksi jana käsittää ne annetulla suoralla olevat pisteet, jotka ovat kahden annetun pisteen välissä.

Seuraavissa aksioomissa pisteiden, suorien ja tasojen oletetaan olevan erillisiä, ellei toisin mainita.

Aksioomat

I. Insidenssin aksioomat

1. (H1) Mitä tahansa kahta pistettä A ja B kohti on olemassa suora, johon molemmat sisältyvät. Tälle suoralle a voidaan käyttää merkintää AB tai BA.
2. (H2) Jos A ja B ovat kaksi eri pistettä, ei ole useampaa kuin yksi suora, johon molemmat sisältyvät.
3. (H3) Jokaiseen suoraan sisältyy vähintään kaksi pistettä. On olemassa ainakin kolme pistettä, jotka eivät sisälly samaan suoraan.
4. Mille tahansa kolmen pisteen joukolle A, B ja C, jotka eivät ole samalla suoralla, on olemassa taso α, johon ne kaikki sisältyvät. Merkitään: "ABC" = α.
5. Jos kaksi pistettä A ja B ovat suoralla a ja tasossa α, jokainen suoran a piste on tasossa α. Tässä tapauksessa sanotaan, että suora a on tasossa α.
6. Jos kahdella tasolla α, β on yhteinen piste A, niillä on ainakin yksi toinenkin yhteinen piste B.
7. On olemassa ainakin neljä pistettä, jotka eivät ole samassa tasossa.

II. Järjestyksen aksioomat

1. (H4) Jos piste B on pisteiden A ja C välissä, B on myös pisteiden C ja A välissä ja on olemassa suora, johon pisteet A, B ja C sisältyvät.
2. (H5) Jos A ja C ovat kaksi pistettä, suoralla AC on ainakin yksi sellainen piste B, että C on pisteiden A ja B välissä.
3. (H6) Kolmesta pisteestä, jotka sisältyvät samaan suoraan, ei useampi kuin yksi voi olla molempien muiden välissä.
4. (H7) Paschin aksiooma: Olkoot A, B, C kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, ja a tasossa ABC oleva suora, joka ei kulje yhdenkään pisteistä A, B tai C kautta. Silloin jos suora a leikkaa janan AB, se leikkaa myös joko janan BC tai janan AC.

III. Yhtenevyyden aksioomat

1. (H8) Jos A, B ovat kaksi pistettä suoralla a ja jos A′ on piste suoralla a′, niin kummallakin puolelta pistettä A′ suoralla a′ on olemassa sellainen piste B′, että jana AB on yhtenevä janan A′B′ kanssa. Tämä relaatio voidaan merkitä: AB ≅ A′B′. Jokainen jana on yhtenevä itensä kanssa.
   Tämä aksiooma voidaan ilmaista lyhyesti sanomalla, että jokainen jana voidaan siirtää mile tahansa suoralle annetun pisteen annetulle puolelle ainakin yhdellä tavalla.
2. (H9) Jos jana AB on yhtenevä janan A′B′ kanssa ja jana AB on myös yhtenevä janan A″B″ kanssa, niin jana on A′B′ on yhtenevä janan A″B″ kanssa. Toisin sanoen janojen yhtenevyys on transitiivinen relaatio.
3. (H10) Olkoot A, B ja C kolme pistettä suoralla a niin, että B on pisteiden A ja C välissä, ja olkoot lisäksi A′, B′ ja C′ kolme pistettä suoralla a niin, että B′ on pisteiden A′ ja C′ välissä. Tällöin jos janat AB ja A′B′ ovat yhteneviä ja samoin janat BC ja B′C, ovat myös janat AC ja A′C′ yhteneviä.
4. Olkoon kulma ∠ (h,k) annettu tasossa α olkoon suora a′ tasossa α′. Oletetaan myös, että tasolla α′ on valittu jompikumpi niistä osista, joihin suora a sen jakaa. Olkoon h′ suoralla a′ oleva puolisuora, joka lähtee tällä suoralla olevasta pisteestä O′. Tällöin tasossa α′ on yksi ja vain yksi sellainen puolisuora k′, että kulma ∠ (h, k), tai ∠ (k, h), on yhtenevä kulman ∠ (h′, k′) kanssa ja että kaikki kulman ∠ (h′, k′) sisäpisteet ovat annetulla puolella suoraa a′. Tälle relaatiolle käytetään merkintää ∠ (h, k) ≅ ∠ (h′, k′).
5. Jos kulma ∠ (h, k) on yhtenevä kulman ∠ (h′, k′) ja myös kulman ∠ (h″, k″) kanssa, niin kulma ∠ (h′, k′) on yhtenevä kulman ∠ (h″, k″), toisin sanoen kulmien yhtenevyys on transitiivinen relaatio.
6. (H13) Jos kahdessa kolmiossa ABC ja A′B′C′ ovat janat AB ja A′B′ yhteneviä, samoin janat AC ja A′C′, ja lisäksi kulmat BAC ja B′A′C′ ovat yhteneviä, ovat myös kulmat ABC ja A′B′C′ yhteneviä. (Tämä on niin sanottu sivu-kulma-sivu-sääntö, SKS: jos kahdessa kolmiossa on kaksi sivua ja niiden välinen kulma yhtä suuret, ovat kolmiot yhteneviä.)

IV. Yhdensuuntaisuusaksiooma

1. YhdensuuntaisaksioomaOlkoon a mikä tahansa suora ja A piste, joka ei ole suoralla a. Silloin pisteen A ja suoran a kautta kulkevassa tasossa on enintään yksi suora, joka kulkee A:n kautta eikä leikkaa suoraa a.

V. Jatkuvuuden aksioomat

1. Arkhimedeen aksiooma. Jos AB ja CD ovat kaksi janaa, on olemassa sellainen luku n, että kuin A:sta alkavalle, B:n kautta kulkevalle puolisuoralle asetetaan n kappaletta janan CD kanssa yhteneviä janoja, joista kahdella peräkkäisellä on yhteinen päätepiste mutta ei muita yhteisiä pisteitä, jokin näistä janoista kulkee pisteen B kautta.
2. Suoran täydellisyysaksiooma. Suoran pisteiden joukkoon, jossa pisteiden välillä vallitsevat tietyt järjestys- ja yhtenevyysrelaatiot, ei voi lisätä pisteitä siten, että alkuperäisten pisteiden väliset järjestys- ja yhtenevyysrelaatiot säilyvät ja että aksioomeista I-III ja V-1 seuraavat järjestys- ja yhtenevyysominaisuudet ovat voimassa myös tässä laajemmassa pistejoukossa.

Hilbertin hylätty aksiooma

Hilbertin aksioomajärjestelmän alkuperäisessä versiossa vuonna 1899 oli mukana myös seuraava aksiooma:

II.4. Mitkä tahansa neljä annetun suoran pistettä A, B, C, D voidaan aina nimetä siten, että B on pisteiden A ja C sekä myös pisteiden A ja D välissä ja että lisäksi C on pisteiden A ja D ja myös pisteiden B ja D välissä.

E.H. Moore ja R.L. Moore todistivat toisistaan riippumatta, että tämä on erillisenä aksioomana tarpeeton sillä se seuraa muista aksioomeista. Moore julkaisi tuloksensa aikakauskirjassa Transactions of the American Mathematical Society vuonna 1902.

Aiheesta muualla

• Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa II, s. 844–858. ("Hilbert", "Invarianssiteoria", "Hilbertin Zahlbericht", "Geometrian perusteet", "Hilbertin probleemat", "Hilbert ja analyysi", "Waringin probleema ja Hilbertin vuoden 1909 jälkeiset työt") Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-158-6