Hagenin–Poiseuillen yhtälö

Hagen–Poiseuillen yhtälö tai Poiseuillen yhtälö on virtausdynamiikan yhtälö, jonka avulla voidaan määrittää painehäviö laminaariselle virtaukselle poikkileikkaukseltaan ympyränmuotoisessa putkessa. Sen johtivat toisistaan riippumatta Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen vuonna 1839 ja Jean Léonard Marie Poiseuille vuonna 1838. Yhtälön julkaisi ensimmäistä kertaa Poiseuille vuosina 1840 ja 1846.

Hagen–Poiseuillen yhtälö on

$\Delta p={\frac {128\mu Lq_{v}}{\pi d^{4}}}$,

missä

Δp on painehäviö (SI: [Δp] = Pa)

μ on nesteen dynaaminen viskositeetti (SI: [μ] = Pa s)

L on putken pituus (SI: [L] = m)

q_v on tilavuusvirta (SI: [q_v] = m³ s⁻¹)

d on putken halkaisija (SI: [d] = m).

Matemaattinen johto

Lähdetään Navier–Stokesin yhtälöistä. Oletetaan virtaus stationääriseksi ja sylinterisymmetriseksi sekä putken suunnassa homogeeniseksi, jolloin jäljelle jää

$0=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\frac {\mu }{\rho }}\nabla ^{2}{\vec {u}}(r)\,$

missä $\rho$ on fluidin tiheys, $\mu$ sen kinemaattinen viskositeetti, ${\vec {u}}(r)$ säteestä riippuva virtausnopeus ja $\nabla$ osittaisdifferentiaalioperaattori. Kirjoitetaan tämä vielä skalaarimuotoon sylinterisymmetrisyys ja x-suuntainen homogeenisuus huomioon ottaen:

$-{\frac {\Delta P}{L}}=\mu {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)\,$

Nyt kaksi kertaa integroimalla ja asettamalla rajaehdot $u(r=0)<\infty$ ja $u(r=R)=0$ saadaan ratkaisu

$u(r)={\frac {\Delta P}{4L\mu }}(R^{2}-r^{2})\,$

eli putkivirtauksen poikkileikkaus on paraboloidin muotoinen.

Toisaalta integroimalla edellinen lauseke putken poikkileikkauksen S yli saadaan tilavuusvirta eli

$q_{v}=\iint _{S}u(r){\text{ d}}y{\text{ d}}z=\int _{\phi =0}^{\phi =2\pi }{\textrm {d}}\phi \int _{r=0}^{r=R}{\frac {\Delta P}{4L\mu }}(R^{2}-r^{2})r{\textrm {d}}r={\frac {\Delta P\pi R^{4}}{8L\mu }}\,$

mistä Hagen–Poiseuillen yhtälö seuraa kirjoittamalla $d=2R$ ja ratkaisemalla painehäviö $\Delta P$.

Lähteet

• Kauranne, Kajaste & Vilenius: Hydraulitekniikka, s. 53, 57. WSOY, 2008. ISBN 978-951-0-33844-5