Greenin teoreema

Greenin teoreema on Stokesin lauseeseen tiiviisti liittyvä lause, jonka mukaan:

$\oint _{\Gamma }Pdx+Qdy=\int _{A}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)dxdy$,

missä

• $P\equiv P(x,y)$ ja $Q\equiv Q(x,y)$
• $\Gamma$ on suljettu polku, joka rajaa pinnan A euklidisessa 3-avaruudessa. Polkuintegraali lasketaan vastapäivään, kun sitä katsotaan pinnan ulkopuolelta, ja pinnan normaali osoittaa pinnan ulkopuolelle.

Greenin teoreemaan saavutaan, kun määritellään $\mathbf {F} =P(x,y)\mathbf {i} +Q(x,y)\mathbf {j}$, josta roottori:

$\nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathbf {k}$.

Sovelletaan Stokesin lausetta, kun $\Gamma$ on suljettu polku tasolla $z=0\,\!$:

$\oint _{\Gamma }\mathbf {F} .d\mathbf {l} =\oint _{\Gamma }Pdx+Qdy=\int _{A}\left(\nabla \times \mathbf {F} \right).\mathbf {k} dS=\int _{A}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)dxdy$.

Teoreema on nimetty brittiläisen George Greenin mukaan.

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).