Gilbreathin konjektuuri

Gilbreathin konjektuuri on alkulukuihin liittyvä lukuteoriaotaksuma, jonka Norman L. Gilbreath julkaisi vuonna 1958.

Määritelmä

Kirjoitetaan kaikki alkuluvut jonoon:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...

Muodostetaan sitten näin saadusta jonosta kahden peräkkäisen luvun erotuksen itseisarvo ja tehdään näistä uusi jono. Jatkamalla näin saadaan seuraavat jonot:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, ...

1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, ...

1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, ...

1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, ...

1, 2, 0, 0, 0, 2, ...

1, 2, 0, 0, 2, ...

Yhtäpitävästi olkoon $a_{n}$ jonon n:s alkio ja $b_{n}$ uuden jonon n:s alkio. Nyt

$b_{n}=|a_{n}-a_{n+1}|$.

Gilbreathin konjektuurin mukaan jokaisen jonon ensimmäinen luku on 1, lukuun ottamatta ensimmäistä jonoa. Jokaisen jonon toinen luku on siis oltava 0 tai 2, lukuun ottamatta ensimmäistä jonoa. Otaksuma on varmistettu todeksi lukuun 10¹³ asti.

Jo ennen Gilbreathia François Proth oli löytänyt ja julkaissut ilmiön vuonna 1878. Proth väitti myös todistaneensa sen, mutta todistus oli virheellinen.