Fermat’n pieni lause

Fermat'n pienen lauseen mukaan kaikilla alkuluvuilla p ja kaikilla kokonaisluvuilla a on voimassa

$a^{p}\equiv a{\pmod {p}}$

eli a^p on kongruentti a:n kanssa modulo p.

Toisinaan lause esitetään seuraavassa muodossa: jos p on alkuluku ja a on kokonaisluku joka ei ole p:n monikerta, niin tällöin

$a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$,

toisin sanoen a^p–1 – 1 on jaollinen p:llä.

Tätä teoreemaa kutsutaan Fermat'n pieneksi lauseeksi erotuksena Fermat'n suuresta lauseesta. Fermat'n pieni lause on perustana Fermat'n alkulukutestille.

Historiaa

Pierre de Fermat keksi lauseensa vuonna 1636. Se esiintyi eräässä hänen kirjeessään, joka on päivätty 18.10.1640, uskotulleen Freniclelle seuraavasti: p jakaa a^p−1 − 1 aina kun p on alkuluku ja a ja p ovat keskenään jaottomia kokonaislukuja.

Kiinalaiset matemaatikot keksivät hypoteesin (toisinaan kutsuttu nimellä kiinalainen hypoteesi,) jonka mukaan p on alkuluku jos ja vain jos

$2^{p}\equiv 2{\pmod {p}}$.

eli 2^p – 2 on jaollinen p:llä.

On totta, että jos p on alkuluku, on voimassa $2^{p}\equiv 2{\pmod {p}}$ (erikoistapaus Fermat'n pienestä lauseesta). Kääntäen tämä ei kuitenkaan päde, esimerkkinä tapaus p = 341, joka ei ole alkuluku.

On laajasti uskottu, että kiinalainen hypoteesi keksittiin noin 2000 vuotta ennen Fermat'n keksintöä. On huomattavaa, että vaikka hypoteesi on osittain väärä, tunsivat jo antiikin matemaatikot väitteen.

Lähteet

• Rosen, Kenneth H.: Elementary Number Theory and Its Applications, s. 148–149. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1984. ISBN 0-201-06561-4 (englanniksi)