Evolventti

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Puolikuutiollinen paraabeli (musta) ja sen evolventin, paraabelin (punainen) konstruointi ajatellun nuoran avulla, joka ensin taivutetaan käyrän mukaiseksi ja sitten erotetaan siitä.
Paraabeli ja kaksi sen evolventtia (punaiset)

Annetun käyrän evolventti eli involuutta on annetun käyrän tangenttien kohtisuora leikkaaja, toisin sanoen käyrä, jonka evoluutta eli kaarevuuskeskipisteiden muodostama ura on alkuperäinen käyrä.[1] Annetun käyrän evolventti voidaan muodostaa siten, että ajatellaan käyrälle asetetuksi venymätön lanka, jota puretaan pingottamalla sitä joka hetki käyrän tangentin suuntaan. Langan toinen pää piirtää tällöin alkuperäisen käyrän evolventin.[1]

Annetulla käyrällä on vain yksi evoluutta, mutta äärettömän monta evolventtia.[2] Saman käyrän evolventit ovat toistensa rinnakkaiskäyriä, toisin sanoen niiden välinen etäisyys on kaikkialla sama.[1]

Evolventin yleistyksinä voidaan pitää vierintäkäyriä. Käyrän evolventit ovat sille suoran avulla muodostettuja vierintäkäyriä.

Parametroidun käyrän evolventti

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon sellaisen säännöllisen tasokäyrän parametriesitys, jonka kaarevuus ei ole missään nolla, ja a jokin luku välillä . Silloin käyrän erään evolventin parametriesitys on

Tämä voidaan todistaa seuraavasti:

Evolventin muodostamiseen käytetty lanka muodostuu kahdesta osasta, joista toinen on käyrän kaari, toinen sen tangentti. Kun sitä kierretään auki tai kokoon, tangentin pituus kasvaa saman verran kuin kaaren pituus pienenee tai päinvastoin. Käyrän väiä vastaavan osuuden pituus on

missä a on alkupiste, josta kaaren pituus mitataan. Sitä langan osuutta, joka kulkee käyrän tangenttia pitkin, vastaa vektori

Langan päätepistettä ( vastaava vektori saadaan vektorien yhteenlaskun avulla: m.o.t.

Jos integraaliin lisätään mielivaltainen vakio , saadaan samalle käyrälle toinen evolventti, joka vastaa sellaista lankaa, joka on vakion verran alkuperäistä pitempi.

Jos vektori esitetään muodossa , saadaan:

Evolventin ominaisuuksia

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Evolventin ominaisuuksia. Merkityt kulmat ovat suoria.

Säännöllisen käyrän ominaisuuksia tutkittaessa on edullista käyttää parametrina sen kaaren pituutta s. Tällöin edellä oleviin yhtälöihin saadaan seuraavat yksinkertaistukset: ja , missä on käyrän kaarevuus sitä vastaan kohtisuora yksikkövektori. Evolventille saadaan lausekkeet

ja

Voidaan todeta, että pisteessä evolventti ei ole säännöllinen, sillä .

Siitä, että , seuraa:

  • Evolventin normaali pisteessä on annetun pisteen tangentti pisteessä .
  • Saman käyrän evolventit ovat rinnakkaisia käyriä, koska ja on evolventin yksikkönormaalivektori pisteessä .

Alkuperäisen käyrän evolventit ja tangentit muodostavat suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän Näin ollen evolventit voidaan muodostaa graafisesti. Piirretään ensin käyrän tangentit. Tällöin käyrän mielivaltainen evolventti voidaan konstruoida siten, että se on kohtisuorassa jokaista tangenttia vastaan.

Evolventeilla on kahdenlaisia kärkipisteitä. Ensimmäisen tyypin muodostavat pisteet, joissa evolventti koskettaa alkuperäistä käyrää. Sellaiset kärkipisteet ovat kertalukua 3/2. Toisen ryhmän muodostavat pisteet, jotka vastaavat alkuperäisen käyrän käännepisteitä. Ne ovat kertaluvun 5/2 kärkipisteitä.[3]

Tämä voidaan nähdä muodostamalla kuvaus , jonka määrittelee yhtälö missä on kaaren pituuden mukainen käyrän parametriesitys ja käyrän kaltevuuskulma pisteessä. Tämä kuvaus kuvaa tason jollekin kolmiulotteisessa avaruudessa olevalle pinnalle. Esimerkiksi se kuvaa ympyrän yksivaippaiselle hyperboloidille.

Tässä kuvauksessa evolventit saadaan kolmivaiheisessa prosessissa: ensin kuvataan suora tasoon , joka sitten kuvataan avaruudessa olevalle pinnalle, joka sitten projisoidaan takaisin tasoon poistamalla x-akseli: missä on mikä tahansa reaalinen vakio.

Koska kuvauksella on derivaatta jokaisessa pisteessä eikä sen derivaatta missään ole nolla, evolventilla voi olla kärkipiste vain siellä, missä :n derivaatta on pystysuora (z-akselin suuntainen), ja se on mahdollista vain siellä, missä edellä mainitulla, avaruudessa olevalla pinnalla on pystysuora tangenttitaso. Tällä pinnalla taas on pystysuora tangenttitaso vain siellä, missä pinta koskettaa käyrää tai missä käyrällä on käännepiste.

Kertaluvun 3/2 kärkipisteet

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tarkastellaan esimerkkinä aluksi ympyrän evolventtia, jonka yhtälö on then set , ja laajennetaan sitä pienellä määrällä , jolloin saadaan jolloin saadaan kertalukua 3/2 oleva käyrä , puolikuutiollinen paraabeli.

Kertaluvun 5/2 kärkipisteet

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Kuutioparaabelin tangentit ja evolventit. Kertaluvun 3/2 kärkipisteet ovat käyrällä, kertaluvun 5/2 kärkipisteet taas x-akselilla, joka on samalla alkuperäisen käyrän ainoaan käännepisteeseen piirretty tangentti.

Tarkastellaan esimerkkinä käyrää . Sen pisteiden ja välisen kaaren pituus on , ja sen pisteeseen piirretyn tangentin ja x-akselin välinen kulma on . Niinpä käyrän evolventilla, joka alkaa pisteestä , on etäisyydellä parametriesitys

Jos nämä lausekkeet kehitetään viidennen asteen termeihin saakka, saadaan mikä esittää kertaluvun 5/2 kärkipistettä. Molemmat yhtälöt toteutuvat sellaisilla x:n ja y:n arvoilla, joille tai ,

mitkä yhtälöt selvästi osoittavat kärjen muodon.

Asettamalla saadaan origon kautta kulkeva evolventti. Se on siitä erikoinen, ettei sillä ole kärkipisteitä. Sarjakehitelmien avulla sille saadaan parametriesitys tai

Ympyrän evolventti

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Ympyrän evolventit

Origokeskeisellä r-säteisellä ympyrällä on parametriesitys , joka voidaan esittää myös vektorimuodossa: . Niinpä , ja kaaren pituus on .

Edellä esitetyistä evolventin yleisistä yhtälöistä saadaan ympyrän evolventeille parametriesitys

.

Näissä on mielivaltainen vakio, joka määrittää sen, mistä kohdasta ympyrällä evolventti alkaa. Oheiseen kuvioon on ympyrälle piirretty arvoja (vihreä), (punainen), (violetti) ja (vaaleansininen) vastaavat evolventit.

Ympyrän evolventti ei ole sama kuin Arkhimedeen spiraali, vaikka muistuttaakin sitä ulkonäöltään huomattavasti. Suurella t:n arvolla ympyrän evolventti kuitenkin lähestyy asymptoottisesti Arkhimedeen spiraalia.[4]

Jokaisella evolventilla väliä vastaavan kaaren pituus on

Puolikuutiollisen paraabelin (sininen) evolventit. Vain punaisella merkitty käyrä on paraabeli. Käyrän evolventit ja tangentit muodostavat suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän, mikä pätee yleisestikin.

Puolikuutiollisen paraabelin evolventti

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Parametriyhtälö esittää puolikuutiollista paraabelia. Derivaatasta saadaan ja . Siinä erikoistapauksessa, että lankaa pidennetään :n verran, laskut yksinkertaistuvat huomattavasti ja saadaan:

Eliminoimalla tästä t saadaan , mikä osoittaa, että tämä evolventti on paraabeli.

Muut evolventit ovat paraabelin rinnakkaiskäyriä. Ne eivät ole paraabeleja vaan kuudennen asteen käyriä.[5]

Ketjuviivan (punainen) evolventti on traktrix (sininen).

Ketjuviivan evolventti

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ketjuviivalla on parametriesitys . Sen tangenttivektori on , ja koska , sen pituus on . Niinpä kaaren pituus pisteestä (0,1) pisteeseen (t, \cosh t) on .

Niinpä pisteestä (0,1) alkavalla ketjuviivan evolventilla on parametriesitys

ja näin ollen se on traktrix.[6]

Ketjuviivan muut evolventit eivät ole traktrixeja, vaan ne ovat traktrixin rinnakkaiskäyriä.

Sykloidin evolventit

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Sykloidin (sininen) evolventit. Näistä vain punaisella merkitty käyrä on toinen sykloidi.

Parametriesitys kuvaa sykloidia. Koska sen tangenttivektori on , saadaan tästä trigonometristen funktioiden muunnoskaavojen avulla:

ja

Näistä yhtälöistä saadaan evolventin parametriesitykseksi

joka esittää oheisessa kuviossa punaisella merkittyä sykloidia.

Sykloidin muut evolventit ovat sykloidin rinnakkaiskäyriä, jotka eivät ole sykloideja.

Evoluutta ja evolventti

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Annetun käyrän evoluutta on sen kaarevuuskeskipisteiden ura. Evoluutan ja evolventin välillä vallitsee seuraava yhteys: käyrä on jokaisen evolventtinsa evoluutta.[1]

Evolventti ja evoluutta
Ketjuviivan evoventti
Traktrix (punainen) ketjuviivan evolventtina
Traktrixin evoluutta
Traktrixin evoluutta on ketjuviiva.
Kaksi hammaspyörää, joiden hampaiden poikkileikkaus on ympyrän evoluutta. Siniset nuolet osoittavat niiden väliset kosketusvoimat: (1) vasemmanpuoleiseen pyörään kohdistuva alaspäin vaikuttava voima ja (2) oikeanpuoleiseen pyörään kohdistuvat ylöspäin vaikuttava voima. Voimien vaikutussuora on merkitty sinisellä katkoviivalla, ja se on molempien hammaspyörien ympyränmuotoisen keskiosan tangentti.

Hammaspyörien hampaat tehdään tavallisimmin poikkileikkaukseltaan ympyrän evoluutan muotoisiksi, joskin myös sykloidin muotoisia hammaspyöriä käytetään.[7] Kahden sellaisen hammaspyörän systeemissä pyörien hampaat koskettavat toisiaan joka hetki vai yhdessä pisteessä, joka on voimien kunkin hetkisellä vaikutussuoralla. Pyörien toisiinsa kohdistamat voimat ovat myös tämän suoran suuntaisia ja hampaiden pintoihin nähden kohtisuorassa. Jos hampaat ovat muun muutoksia, pyörien suhteelliset nopeudet ja niiden väliset eivät pysy vakioina vaan vaihtelevat edestakaisin välillä pieneten, mistä aiheutuu tärinää, häiritsevää ääntä ja ylimääräistä kulumista.[8]

Scroll-kompressorin toiminta

Kaasujen puristukseen käytetyissä scroll-kompressoreissa paine tuotetaan kahdella kierukalla, jotka tehdään ympyrän evolventin muotoisiksi, joskin ne voivat olla myös Arkhimedeen spiraalin tai hybridikäyrän muotoisia. Scroll-kompressorit toimivat tasaisemmin, äänettömämmin ja luotettavamin kuin muun tyyppiset kompressorit.[9]

HFIR-isotooppireaktoreissa (High Flux Isotope Reactor) polttoainelevyt tehdään ympyrän evolventin muotoisiksi, koska silloin levyjen väliset laudutuskanavat saadaan vakiolevyisiksi.[10]

  1. a b c d ”Evolventti”, Iso tietosanakirja, 3. osa (Edom–Gotthielf), s. 634. Otava, 1932.
  2. Involute Wolfram MathWorld. Eric W. Weisstein. Viitattu 8.12.2023.
  3. V. I. Arnolʹd: Huygens and Barrow, Newton and Hooke : pioneers in mathematical analysis and catastrophe theory from evolvents to quasicrystals. (lähde koko osiolle) Basel: Birkhaüser Verlag, 1990. OCLC:21873606 Teoksen verkkoversio.
  4. Involute of a Circle MathCurve. Viitattu 8.12.2023.
  5. Characteristics of parallel parabola (offset curve) and the formula to find the equation math.stackexchange.com. Viitattu 5.12.2023.
  6. Catenary involute Eric W. Weisstein. Viitattu 5.12.2023.
  7. Timo Oravasaari: ”Evolventtifunktio”, Moottorin suorahampaisen jakohammaspyörästön suunnittelu, s. 13–15. Tampereen ammattikorkeakoulu, 2013. Teoksen verkkoversio.
  8. V. G. A. Goss: Application of analytical geometry to the shape of gear teeth. Resonance, 2013, 18. vsk, nro 9, s. 817-831. Artikkelin verkkoversio.
  9. Kaasukompressori AlegsaOnline. Viitattu 8.12.2023.
  10. Oak Ridge National Laboratories: ”Reactor Core Assembly”, High Flux Isotope Reactor (HFIR) User Guide, s. 5. U. S. Department of Energy, 2015. Teoksen verkkoversio.