Dedekindin eetafunktio

Dedekindin eetafunktio on Richard Dedekind mukaan nimetty kompleksilukujen ylemmässä puolitasossa määritelty funktio, jonka imaginaariosa on positiivinen. Tällaisille kompleksiluvuille voidaan määritellä $q\equiv e^{i2\pi \tau }\,$, jolloin voidaan määritellä Dedekindin eetafunktio asettamalla

$\eta (\tau )=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n}).$

Eetafunktio on holomorfinen ylemmässä puolitasossa, mutta sen ulkopuolelle funktiota ei voida jatkaa analyyttiseksi.

Modulaarisen diskriminantin reaaliosa q:n funktiona.

Eetafunktio toteuttaa funktionaaliyhtälöt

$\eta (\tau +1)=\exp(2\pi i/24)\eta (\tau ),\,$

$\eta (-1/\tau )={\sqrt {-i\tau }}\eta (\tau ).\,$

Yleisemmin,

$\eta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\epsilon (a,b,c,d)\left(-i(c\tau +d)\right)^{1/2}\eta (\tau )$

missä kokonaisluvuille a, b, c, d pätee ad − bc = 1, jolloin se on modulaarisen ryhmän transformaatio ja

$\epsilon (a,b,c,d)=\exp i\pi \left({\frac {a+d}{12c}}+s(-d,c)\right)$

ja s(h, k) on Dedekindin summa

$s(h,k)=\sum _{n=1}^{k-1}{\frac {n}{k}}\left({\frac {hn}{k}}-\left\lfloor {\frac {hn}{k}}\right\rfloor -{\frac {1}{2}}\right).$

Näiden funktionaaliyhtälöiden perusteella eetafunktio on modulimuoto, jonka paino on 1/2, taso on 1 tietylle kertalukua 24 olevalle moduliryhmän metaplektisen kaksoispeitteen karakterille. Funktiota voidaan käyttää myös määrittämään muita moduulimuotoja. Erityisesti eetafunktion Weierstrassin muoto voidaan määritellä

$\Delta (\tau )=(2\pi )^{12}\eta (\tau )^{24}\,$

ja se on muolimuoto, jonka paino on 12. (Toisinaan kerroin (2π)¹² jätetään kirjallisuudessa pois, jolloin sarjalla on kokonaislukukertoimet).

Jacobin kolmitulosta seuraa, että eetafunktio on tekijää vaille Jacobin theetafunktio tietyillä argumenteilla:

$\eta (z)=\sum _{n=1}^{\infty }n\chi (n)\exp(\pi in^{2}z/12),$

missä $\chi (n)$ on Dirichlet'n karakteristika modulo 12, missä $\chi (\pm 1)=1$ ja $\chi (\pm 5)=-1$.

Eetafunktioon kertoimella $\phi (q)=q^{-1/24}\eta (\tau )$ liittyvällä Eulerin funktiolla

$\phi (q)=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{n}\right),$

on potenssisarjaesitys

$\phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(3n^{2}-n)/2}.$

Tämä liittyy viisikulmiolukulauseeseen. Koska eetafunktiota on helppo laskea joko numeerisesti tai potenssisarjan avulla, se on usein käyttökelpoinen kun halutaan ilmaista muita funktioita eetafunktion tuloina ja osamäärinä. Näitä kutsutaan eetaosamääriksi ja niitä voidaan käyttää monen moduulimuodon ilmaisemiseen.

Lähteet

• Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 41 (1990), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97127-0 Luku 3.
• Neil Koblitz, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 97 (1993), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97966-2