Darboux’n kehys

Darboux’n kehys on pintojen differentiaaligeometriassa kolmen vektorin joukko eli kehys. Se on nimetty ranskalaisen matemaatikon Jean Gaston Darboux’n mukaan.

Darboux’n kehys pinnalla sijaitsevalle käyrälle

Olkoon S suunnistuva pinta kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa E³. Darboux’n kehys pinnalla S voidaan määritellä kaikille pinnan S. Tämän jälkeen on mielekästä tarkastella pääsuuntien suuntaisia käyriä.

Määritelmä

Jokaiseen suunnistuvan pinnan pisteeseen voidaan liittää yksikäsitteinen yksikkövektori u (suunnistuvan pinnan määritelmä). Jos γ kaarenpituuden suhteen parametrisoitu käyrä pinnalla S, Darboux’n kehys käyrälle γ pisteessä γ(s) määritellään asettamalla

$\mathbf {T} (s)=\gamma '(s),$    (yksikkötangentti)

$\mathbf {u} (s)=\mathbf {u} (\gamma (s)),$    (yksikkönormaali)

$\mathbf {t} (s)=\mathbf {u} (s)\times \mathbf {T} (s),$    (tangenttinormaali)

Kolmikko T,u,t on ortonormaali kanta, joten se on luonteva kehys käyrän γ näkökulmasta.

Geodeettinen ja normaalikaarevuus sekä suhteellinen torsio

Huomaa, että käyrälle määritelty Darboux’n kehys ei vielä anna luonnollista liikkuvaa kehystä pinnalla, koska se riippuu tangenttivektorin valinnasta. Saadaksemme luonnollisen kehyksen pinnalle, vertaamme käyrän γ Darboux’n kehystä sen Frenet–Serret kehykseen. Olkoon

$\mathbf {T} (s)=\gamma '(s),$    (yksikkötangentti, kuten edellä)

$\mathbf {N} (s)={\frac {\mathbf {T} '(s)}{\|\mathbf {T} '(s)\|}},$    (Frenet-normaalivektori)

$\mathbf {B} (s)=\mathbf {T} (s)\times \mathbf {N} (s),$    (Frenet-binormaalivektori).

Koska tangenttivektorit ovat kehyksissä samat, on olemassa yksikäsitteinen kulma α siten, että tasojen N ja B kiertäminen tuottaa parit t ja u:

${\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &\sin \alpha \\0&-\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.$

Derivoimalla ja käyttämällä Frenet–Serret-kaavoja saadaan

$d{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa \cos \alpha \,ds&-\kappa \sin \alpha \,ds\\-\kappa \cos \alpha \,ds&0&\tau \,ds+d\alpha \\\kappa \sin \alpha \,ds&-\tau \,ds-d\alpha &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}$

$={\begin{bmatrix}0&\kappa _{g}\,ds&\kappa _{n}\,ds\\-\kappa _{g}\,ds&0&\tau _{r}\,ds\\-\kappa _{n}\,ds&-\tau _{r}\,ds&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}$

missä:

• κ_g on käyrän geodeettinen kaarevuus,
• κ_n on käyrän normaalikaarevuus ja
• τ_r on käyrän suhteellinen torsio (ts. geodeettinen torsio).

Lähteet

• Cartan, Élie: La théorie des groupes finis et continus et la géométrie différentielle traitées par la méthode du repère mobile. Gauthier-Villars, 1937.
• Cartan, É (Appendices by Hermann, R.): Geometry of Riemannian spaces. Math Sci Press, Massachusetts, 1983.
• Darboux, Gaston: Leçons sur la théorie génerale des surfaces: Volume I, Volume II, Volume III, Volume IV. Gauthier-Villars, 1887,1889,1896.
• Guggenheimer, Heinrich: ”Chapter 10. Surfaces”, Differential Geometry. Dover, 1977. ISBN 0-486-63433-7
• Spivak, Michael: A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3). Publish or Perish, 1999. ISBN 0-914098-72-1
• Spivak, Michael: A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 4). Publish or Perish, 1999. ISBN 0-914098-73-X