Coxeterin diagrammi

Coxetetin ryhmät tasossa vastaavine diagrammeineen. Alueen peilit on merkitty tunnuksilla m1, m2 jne. Kärjet on väritetty heijastumisen mukaisessa järjestyksessä. Prismaattinen ryhmä [W₂xW₂] on esitetty R₃:n kaksoiskappaleena, mutta se voidaan muodostaa myös suorakumaisista alueista kahdentamalla kolmiot V₃. P₃ saadaan kahdentamalla kolmio V3.

Coxeterin ryhmät pallopinnalla ja vastaavat diagrammit. Perusalue on merkitty keltaisella reunaviivalla. Kärjet on väritetty heijastuksen mukaisessa järjestyksessä.

Coxeterin ryhmät kolmiulotteisessa avaruudessa diagrammeineen. Peilit (kolmikulmaiset tahkot) on merkitty vastakkaisen kärjen mukaisesti 0...3. Särmät on väritetty heijastuksen mukaisessa järjestyksessä.
R₄ täyttää kuudesosan kuutiosta.

Coxeterin diagrammi, Coxeterin–Dynkinin diagrammi eli Coxeterin graafi on geometriassa graafi, jolla kuvataan monitahokkaan tai muun polytoopin symmetriaa. Coxeterin diagrammi esittää, millä tavoin monitahokas tai muu polytooppi voidaan ajatella muodostettavaksi lähtemällä yhdestä sen kärkipisteistä, jolloin sen muut kärkipisteet saadaan tämän pisteen peilikuvina yhdestä tai useammasta peilistä tai heijastavasta hypertasosta. Oleellisesti samalla tavalla saadaan kaleidoskoopissa syntymään erilaisia symmetrisiä kuvioita. Jokainen graafin solmu esittää tällaista ajateltua peiliä, ja haaraan liittyvä luku vastaa peilien välistä diedrikulmaa. Jos haaraan ei ole merkitty lukua, tämän oletetaan olevan 3.

Graafina diagrammi esittää Coxeterin ryhmää. Sen jokainen solmu esittää peiliä ja jokainen haara kahden peilin välistä diedrikulmaa.

Coxeterin diagrammeja muistuttavat läheisesti myös Dynkinin diagrammit, jotka eroavat Coxeterin diagrammeista kahdessa suhteessa: ensinnäkin haarat, joihin on merkitty luku "4" tai suurempi ovat suunnattuja, kun taas Coxeterin diagrammit ovat suuntaamattomia, toiseksi Dynkin diagrammien on toteutettava se kristallografinen lisäehto, että niissä saa esiintyä vain merkinnöillä 2, 3, 4 tai 6 varustettuja haaroja. Dynkinin diaggammit vastaavat juurisysteemejä ja samalla puoliyksinkertaisia Lien algebroja, joiden luokitteluun niitä myös käytetään.

Kuvailu

Diagrammilla voidaan esittää myös polytoopit lisäämällä renkaita solmujen ympärille. Rengas tarkoittaa, että kyseessä on aktiivinen peili, jota käytetään konstruoitaessa polytooppi heijastusten avulla. Jotta diagrammi esittäisi polytooppia, siinä on oltava vähintään yksi aktiivinen solmu.

Renkaat osoittavat samalla, onko generoiva piste peilissä vai sen ulkopuolella. Peili on aktiivinen eli muodostaa heijastuksen vain, jos pisteet ovat peilin ulkopuolella, joten rengas ilmaisee, että generoiva piste on peilin ulkopuolella ja siitä muodostuu heijastus.

Graafin viivat eli kaaret merkitään kokonaisluvuilla n, jotka tarkoittavat diedrikulmaa 180/n. Jos kaareen ei ole merkitty lukua, sen oletetaan olevan 3. Jos n=2, kulma on 90 astetta eivätkä peilit vaikuta toisiinsa, ja kaari voidaan jättää huomioon ottamatta. Kahta yhdensuuntaista peiliä voidaan merkitä symbolilla ∞ (ääretön).

Periaatteessa n peiliä voidaan esittää täydellisellä graafilla, jossa on mukana kaikki n·(n-1)/2 kaarta. Käytännössä mielenkiintoisissa peilien konfiguraatioissa osa peileistä on toisiinsa nähden kohtisuorassa, jolloin niitä vastaavat kaaret voidaan jättää pois kuviosta.

Polytoopit ja laatoitukset voidaan muodostaa käyttämällä näitä peilejä ja yhtä ainoaa generoivaa pistettä, josta tulee yksi polytoopin tai laatoituksen kärkipisteistä. Muut kärkipisteet saadaan tämän peilikuvina yhden tai useamman peilin kautta. Polytoopin särmät ovat jonkin pisteen ja sen peilikuvan toisiinsa yhdistäviä janoja. Tahkot voidaan muodostaa saatujen särmien muodostamina renkaina ja niin edelleen.

Esimerkkejä

• Yksi ainoa solmu esittää yhtä ainoaa peiliä. Sitä vastaa ryhmä A₁. Jos se on rengastettu, se muodostaa digonin tai peiliin nähden kohtisuoran särmän, joka merkitään {} tai {2}.
• Kaksi solmua, joita ei ole yhdistetty toisiinsa, esittää kahta toisiinsa nähden kohtisuoraan asetettua peiliä. Jos molemmat solmut on rengastettu, piste peilikuvineen muodostaa suorakulmion, tai jos se on samalla etäisyydellä kummastakin peilistä, neliön.
• Jos kaksi solmua on yhdistetty viivalla, johon on merkitty luku n, diagrammi esittää n-kulmiota, jos piste on peilillä, tai '2n-kulmiota, jos piste ei ole kummallakaan peilillä. Nämä muodostavat ryhmän D₂ⁿ.
• Kaksi yhdensuuntaista peiliä voivat esittää äärettömän monikulmion ryhmää D₂^∞, jolle käytetään myös merkintää W₂.
• Kolme peiliä, jotka muodostavat kolmion, saavat aikaan kuvia, joita näkyy tavanomaisessa kaleidoskoopissa, ja niitä esittää kolme toisiinsa yhdistettyä solmua kolmiossa. Tällä tavoin saadaan särmät, joita voidaan merkitä (3 3 3), (2 4 4) tai (2 3 6), joskin kaksi viimeksimainittua voidaan esittää myös suoralla, jolloin särmä 2 jätetään pois. Näistä muodostuvat uniformiset tessellaatiot.
• Kolmella peilillä voidaan generoida uniformiset monitahokkaat, jos niihin liittyvt rationaaliluvut muodostavat Schwarzin kolmioiden joukon.
• Kolme peiliä, joista yksi on muihin nähden kohtisouorassa, voivat muodostaa uniformiset särmiöt.

Yleensäkin kaikki sellaisten säännöllisten n-polytooppien, joita esittää Schläflin symboli {p,q,r,...}, perusalueet voidaan esittää n peilun joukolla ja ne liittää Coxeterin-Dynkinin fiagrammiin jono solmuja ja kaaria, joita voidaan merkitä kirjaimilla p,q,r...

Äärelliset Coxeterin ryhmät

Kuperien uniformisten poytooppien joukon määrittelevät Coxeterin ryhmät.

Huomutuksia:

Samoille ryhmille käytetään kolmea erilaista merkintää: yhden muodostavat kirjain ja luku, toisen joukko lukuja ja aaltosulkumerkkejä ja kolmannen Coxeterin diagrammi.

• Myös kaksihaaraisille ryhmille B_n voidaan käyttää merkintää h[], joka osoittaa sitä, että tällainen ryhmä on alternoitu muunnos säännöllisistä ryhmistä C_n, toisin sanoen siinä on mukana vain puolet säännöllisen ryhmän alkioista.
• Myös haaroittuville ryhmille B_n ja E_n voidaan käyttää merkintää [3^a,b,c], missä a,b,c ovat segmenttien lukumäärät kussakin kolmessa haarassa.

n	A1+	B4+	C2+	D2p	E6-8	F4	G2-4
1	A1=[]
2	A2=[3]		C2=[4]	D2p=[p]			G2=[5]
3	A3=[3²]	B3=A3=[30,1,1]	C3=[4,3]				G3=[5,3]
4	A4=[3³]	B4=h[4,3,3]=[31,1,1]	C4=[4,3²]		E4=A4=[30,2,1]	F4=[3,4,3]	G4=[5,3,3]
5	A5=[34]	B5=h[4,3³]=[32,1,1]	C5=[4,3³]		E5=B5=[31,2,1]
6	A6=[35]	B6=h[4,34]=[33,1,1]	C6=[4,34]		E6=[32,2,1]
7	A7=[36]	B7=h[4,35]=[34,1,1]	C7=[4,35]		E7=[33,2,1]
8	A8=[37]	B8=h[4,36]=[35,1,1]	C8=[4,36]		E8=[34,2,1]
9	A9=[38]	B9=h[4,37]=[36,1,1]	C9=[4,37]
10+	..	..	..	..	..	..	..

(Huomautus: vaihtoehtoiset nimet kuten yksinkertaiset Lien ryhmät on annettu.

1. A_n muodostaa simpleksisten polytooppien perheen (saman nimi: A_n).
2. B_n on puoli-hyperkuutioiden perhe, joka alkaa 24-soluista neljässä ja penteraktista viidessä ulottuvuudessa (voidaan merkitä myös D_n).
3. C_n muodostaa hyperkuutioiden perheen (sama nimi: C_n).
4. D₂ⁿ muodostaa säännölliset monitahokkaat (käytetään myös merkintää I₁ⁿ).
5. E₆,E₇,E₈ ovat Gosset'n semiregulaaristen polytooppien generaattorit (samat nimet: E₆,E₇,E₈).
6. F₄ on polykooristen 24-solujen perhe (sama nimi : F₄).
7. G₃ käsittää vain monitahokkaat dodekaedrin ja ikosaedrin (voidaan merkitä myös H₃).
8. G₄ käsittää vain polykoorit 120-solun ja 600-solun (voidaan merkitä myös H₄).

Äärettömät Coxeterin ryhmät

Myös uniformisten kuperien laatoitusten perheet voidaan määritellä Coxeterin ryhmillä.

Huomautuksia:

• Säännölliset (lineaariset) ryhmät voidaan merkitä yhtäpitävällä merkinnällä, jossa käytetään aaltosulkuja.
• Ryhmä S_n voidaan merkitä myös merkinnällä h[], joka osoittaa sen olevan puolet säännöllisestä ryhmästä.
• Ryhmä Q_n voidaan merkitä myös merkinnällä q[], joka osoittaa sen olevan neljäsosa säännöllisestä ryhmästä.
• Haarautuneet ryhmät T_n voidaan merkitä myös muotoa [3^a,b,c] olevalla lausekkeella, missä a, b, c ovat segmenttien lukumäärät sen jokaisessa kolmessa haarassa.

n	P3+	Q5+	R3+	S4+	T7-9	U5	V3	W2
2								W2=[∞]
3	P3=h[6,3]		R3=[4,4]				V3=[6,3]
4	P4=q[4,3,4]		R4=[4,3,4]	S4=h[4,3,4]
5	P5	Q5=q[4,3²,4]	R5=[4,3²,4]	S5=h[4,3²,4]		U5=[3,4,3,3]
6	P6	Q6=q[4,3³,4]	R6=[4,3³,4]	S6=h[4,3³,4]
7	P7	Q7=q[4,34,4]	R7=[4,34,4]	S7=h[4,34,4]	T7=[32,2,2]
8	P8	Q8=q[4,35,4]	R8=[4,35,4]	S8=h[4,35,4]	T8=[33,3,1]
9	P9	Q9=q[4,36,4]	R9=[4,36,4]	S9=h[4,36,4]	T9=[35,2,1]
10	P10	Q10=q[4,37,4]	R10=[4,37,4]	S10=h[4,37,4]
11	...	...	...	...

(Huomautus : vaihtoehtoiset nimet kuten yksinkertaiset Lien ryhmät on myös annettu.)

1. P_n on syklinen ryhmä (voidaan merkitä myös ~A_n-1).
2. Q_n (voidaan merkitä myös ~D_n-1)
3. R_n muodostaa säännöllisten laatoitusten perheen hyperkuutiossa {4,3,....} (voidaan merkitä myös ~B_n-1).
4. S_n muodostaa laatoitusten alternoivan ryhmän hyperkuutiossa (voidaan merkitä myös ~C_n-1).
5. T₇,T₈,T₉ ovat Gosset'n laatoitukset (voidaan merkitä myös ~E₆,~E₇,~E₇).
6. U₅ on 24-solujen muodostama säännöllinen laatoitus {3,4,3,3} (voidaan merkitä myös ~F₄).
7. V₃ kuusikulmioiden muodostama laatoitus (voidaan merkitä myös ~H₂).
8. W₂:n muodostaa kaksi yhdensuuntaista peiliä (voidaan merkitä myös ~I₁).

Lähteet

• F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss: ”Paper 17: The Evolution of Coxeter-Dynkin diagrams”, Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, s. 233–248. Wiley-Interscience, 1995. ISBN 978-0-471-01003-6
• H. S. M. Coxeter: ”Wythoff's Construction for Uniform Polytopes”, The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover, 1999. ISBN 978-0-486-40919-1
• H. S. M. Coxeter: ”Chapter 5: The Kaleidoscope, ja Section 11.3: Representation by graphs”, Regular Polytopes. Macmillan, 1973. ISBN 0-486-61480-8

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Coxeterin diagrammi Wikimedia Commonsissa