Buffonin neula

Neula a leikkaa viivan, b ei leikkaa.

Buffonin neula oli ensimmäinen^lähde? geometrisen todennäköisyyden ongelma. Oletetaan, että lattia on tehty yhdensuuntaisista ja samanlevyisistä laudoista. Mikä on todennäköisyys, että lattialle pudotettu neula leikkaa laudan reunan eli putoaa useamman kuin yhden laudan päälle? Tämän kysymyksen esitti ensimmäisen kerran kreivi Georges Leclerc de Buffon 1700-luvulla.

Matemaattinen formulointi

Neula, jonka pituus on l, pudotetaan tasolle, jossa on yhdensuuntaisia suoria, joiden etäisyys on t. Millä todennäköisyydellä neula leikkaa suoran?

Ratkaisu

Olkoon x etäisyys neulan keskipisteestä lähimpään suoraan ja θ neulan ja suoran välinen kulma. Neulan keskipisteen etäisyys lähimpään suoraan on enintään t/2 ja kaikki etäisyydet ovat yhtä todennäköisiä, joten x:n tiheysfunktio välillä 0 ja 2/t on

${\begin{cases}{\frac {2}{t}}&:\ 0\leq x\leq {\frac {t}{2}}\\0&:{\text{muualla.}}\end{cases}}$

Vastaavasti kulman θ tiheysfunktio on

${\begin{cases}{\frac {2}{\pi }}&:\ 0\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}\\0&:{\text{muualla.}}\end{cases}}$

Koska x ja θ eivät ole toisistaan riippuvaisia, voidaan tiheysfunktiot yhdistää

${\begin{cases}{\frac {4}{t\pi }}&:\ 0\leq x\leq {\frac {t}{2}},\ 0\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}\\0&:{\text{muualla.}}\end{cases}}$

Trigonometriaa käyttämällä näemme että neula leikkaa suoran, jos

$x\leq {\frac {l}{2}}\sin \theta .$

Tapaus 1: Lyhyt neula

Oletetaan että neulan pituus l on pienempi kuin suorien etäisyys t. Kaikista mahdollisista neulan asennoista olemme kiinnostuneet niistä, joissa $x\leq {\frac {l}{2}}\sin \theta .$. Integroimalla yhdistettyä tiheysfunktiota saadaan todennäköisyydeksi P(neula leikkaa suoran)

$P=\int _{\theta =0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{x=0}^{(l/2)\sin \theta }{\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta ={\frac {2l}{t\pi }}.$

Tapaus 2: Pitkä neula

Oletetaan että $l>t$. Nyt integroimalla yhdistettyä tiheysfunktiota saadaan:

$\int _{\theta =0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{x=0}^{m(\theta )}{\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta ,$

missä $m(\theta )$ on Minimi $[(l/2)\sin \theta$ , $t/2]$.

Suorittamalla integroinnin näemme, että kun $t<l$, todennäköisyys että neula leikkaa suoran on

${\frac {2l}{t\pi }}-{\frac {2}{t\pi }}\left\{{\sqrt {l^{2}-t^{2}}}+t\sin ^{-1}\left({\frac {t}{l}}\right)\right\}+1$

tai

${\frac {2}{\pi }}\cos ^{-1}{\frac {t}{l}}+{\frac {2}{\pi }}{\frac {l}{t}}\left\{1-{\sqrt {1-\left({\frac {t}{l}}\right)^{2}}}\right\}.$

Toisen lausekkeen ensimmäinen termi kertoo todennäköisyyden, jolla neulan kulma on sellainen, että se leikkaa suoran x:stä riippumatta. Vastaavasti toinen termi kertoo todennäköisyyden, jolla neula tippuu kulmaan, jossa x:llä on väliä ja neula leikkaa suoran.

π: kokeellinen määrittäminen

Italialainen matemaatikko Lazzarini suoritti kokeen 1901, jossa hän laittoi koneen heittämään tikkua 3408 kertaa. Hän sai tulokseksi $P(tulitikku\ leikkaa\ viivan)={\frac {1808}{3408}}.$ Jos ratkaistaan $\pi ={\frac {2l}{{P}t}}.$ ja sijoitetaan Lazzarinin määrittämän likiarvon P:lle, saadaan :$\pi =3,1415929,$ joka on oikein kuuden desimaalin tarkkuudella. Koe on herättänyt paljon epäilyksiä, sillä Lazzarinin valitsemat 3408 ja 5/6 johtavat suoraan hyvin tunnettuun piin likiarvoon $\pi ={\frac {355}{113}}.$( $3408{\frac {5}{6}},$ on 355:n monikerta.^selvennä)

Tulitikkukoe

Olkoon alustassa sen päästä päähän ulottuvia yhdensuuntaisia viivoja, joiden välinen etäisyys on kaksi kertaa käytettävien tulitikkujen pituus.Tulitikkukokeessa tarkastellaan todennäköisyyttä sille, että heitettäessä tulitikkua alustalle se leikkaa jonkin alustan viivoista. Todennäköisyys yhtä tikkua heitettäessä on

$P(tulitikku\ leikkaa\ viivan)={\frac {1}{\pi }}$ (aiemmin johdetun todennäköisyyden laskukaavan nojalla).

Tästä saadaan

$\pi ={\frac {1}{P(tulitikku\ leikkaa\ viivan)}}.$

Nyt voidaan kokeellisesti määrittää todennäköisyys sille, että tikku leikkaa viivan heittämällä tikkua tarpeeksi monta kertaa. Kokeellinen todennäköisyys saadaan laskettua jakamalla onnistuneiden heittojen määrä kaikkien heittojen määrällä, eli

$P={\frac {tulitikku\ leikkaa\ viivan}{kaikki\ heitot}}.$

Arvio piille saadaan lasketun todennäköisyyden käänteislukuna.

Lähteet

• Badger, Lee: Lazzarini's Lucky Approximation of π. Mathematics Magazine, 1994, 67. vsk, nro 2, s. 83–91. Mathematical Association of America. doi:10.2307/2690682 JSTOR:2690682
• Ramaley, J. F.: Buffon's Noodle Problem. The American Mathematical Monthly, 1969, 76. vsk, nro 8, s. 916–918. Mathematical Association of America. doi:10.2307/2317945 JSTOR:2317945
• Mathai, A. M.: An Introduction to Geometrical Probability, s. 5. Newark: Gordon & Breach, 1999. ISBN 978-90-5699-681-9 Teoksen verkkoversio.
• Dell, Zachary: The Buffon-Laplace needle problem in three dimensions. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, 2009, 09. vsk, nro 9, s. 010. doi:10.1088/1742-5468/2009/09/P09010 Bibcode:2009JSMTE..09..010D
• Schroeder, L. (1974). "Buffon's needle problem: An exciting application of many mathematical concepts". Mathematics Teacher, 67 (2), 183–6.

Aiheesta muualla

• Buffon's Needle cut-the-knot
• Math Surprises: Buffon's Noodle cut-the-knot
• MSTE: Buffon's Needle
• Buffon's Needle Java Applet
• Estimating PI Visualization (Flash)
• Buffon's needle: fun and fundamentals (presentation) slideshare
• Animations for the Simulation of Buffon's Needle (Arkistoitu – Internet Archive) Yihui Xie
• 3D Physical Animation Java Applet Jeffrey Ventrella
• Padilla, Tony: ∏ Pi and Buffon's Needle Numberphile. Brady Haran. Arkistoitu 17.5.2013. Viitattu 11.9.2013.