Leschin vanhemmat olivat konttoristi Johan Fredrik Lesch ja Amanda Wilhelmina Andersson. Hän valmistui filosofian kandidaatiksi 1910, toimi ylioppilaskunnan varapuheenjohtajana 1917-1919 ja Helsingin ruotsalaisen kauppaopiston johtajana 1919-1927. Filosofian tohtoriksi (lisensiaatiksi) Lesch valmistui 1924, väitöskirjan aiheenaan Carl Erik Mannerheim, ämbetsmannen och statsmannen I. Suomen ja Skandinavian historian dosenttiHelsingin yliopistoon hänestä tuli 1926. Ruotsalaisessa kauppakorkeakoulussa hän toimi historian ja valtiotieteen vanhempana opettajana ja vuodesta 1927 rehtorina. Kauppakorkeakoulun mainitun alan professori hän oli 1934-1945. Väitöskirjansa lisäksi Lesch julkaisi varsinkin kustavilaista aikaa koskevia historiallisia ja taloustieteellisiä tutkimuksia, kuten Carl Erik Mannerheim, ämbetsmannen och statsmannen (1924), Palmstrushcka bankens Åbokontor (1925) ja Jan Anders Jägerhorn (1941).[1] Hän myös kirjoitti ahkerasti sanoma- ja aikakauslehtiin. Lesch toimi Historiska förening -yhdistyksen puheenjohtajana 1929-1937, oli Paneurooppalaisen yhdistyksen varapuheenjohtaja vuodesta 1930 ja kuului Ruotsalaisen Kirjallisuusseuran johtokuntaan sekä ruotsalaisen kansanpuolueen johtoelimiin.
Leschin puoliso vuodesta 1915 oli Gunnel Harriet Dagmar Karsten (k. 1942).
