Attraktori

Lorenzin differentiaaliyhtälöiden outo attraktori on tunnetuimpia attraktoreja.

Attraktori on faasiavaruuden joukko, johon dynaaminen systeemi päätyy, kun aikaa kuluu tarpeeksi ja jonka läheisyydessä se myös pysyy, vaikka systeemiä häirittäisiin hieman. Geometrisesti attraktori voi olla piste, käyrä, muu monisto tai jopa fraktaali. Attraktori on keskeinen käsite kaaosteoriassa.

Attraktorityyppejä

Kiintopiste

Kiintopiste on yksinkertaisin attraktori. Siinä attraktorina toimii jokin tietty faasiavaruuden piste. Esimerkiksi vapaasti roikkuvan heilurin pysähtyminen tasapainoasemaan vastaa päätymistä kiintopisteattraktoriin.

Kiintorengas

Kiintopisteen kaksiulotteinen vastine, jossa systeemi jää kiertämään faasiavaruudessa suljetulla käyrällä. Kiintorengas vastaa dynaamisen systeemin jaksollista rataa. Kiintopisteen muuttumista kiintorenkaaksi kutsutaan Hopfin bifurkaatioksi.

Outo attraktori

Outo attraktori on populaariesityksissä useimmin kuvattu attraktorityyppi. Ne ovat faasiavaruuden pistejoukkoja, joiden Hausdorffin dimensio ei ole kokonaisluku. Oudolla attraktorilla on siis fraktaalirakenne. Tunnetuimpia outoja attraktoreita ovat

• Lorenzin attraktori
• Rösslerin attraktori
• Hénonin kuvauksen attraktori

Attraktioallas

Newtonin yhtälönratkaisualgoritmin attraktioaltaat yhtälölle $x^{3}-1=0$. Kuvassa kompleksitason piste on väritetty sen mukaan, minkä yhtälön kolmesta juuresta siitä aloitetu iterointi löytää. Altaiden reunaviiva muodostaa fraktaalin. Kukin väri vaalenee lähetessään yhtälön vastaavaa juurta.

Ne attraktoria ympäröivät avaruuden pisteet, joista liikkeelle lähtiessään systeemin aikakehitys johtaa attraktoriin kutsutaan kyseisen attraktorin attraktioaltaaksi (engl. basin of attraction). Attraktioaltailla on etenkin numeerisessa matematiikassa suuri merkitys, sillä monilla algoritmeilla laskennan eri alkuarvot voivat johtaa eri ratkaisun löytymiseen.

Attraktioaltaan kiintoisa erikoistapaus ovat Wadan altaat. Nämä ovat faasiavaruuden erillisiä, yhtenäisiä ja avoimia joukkoja, joilla on sellainen (hyvin epäintuitiivinen!) ominaisuus, että niillä on yhteinen reunaviiva. Tämä on mahdollista vain jos altaiden reunaviivalla faasiavaruus sotkeutuu fraktaaliksi, jonka jokaisessa pisteessä kaikki altaat koskettavat toisiaan. Esimerkki kolmen altaan muodostamasta systeemistä on oheisessa kuvassa Newtonin algoritmin attraktioaltaista kompleksitasossa.