Alkulukufunktio

Alkulukufunktio on matematiikan funktio, jolla lasketaan reaalilukua x pienempien tai yhtäsuurten alkulukujen lukumäärää. Funktion merkintä on $\scriptstyle \pi (x)$ (Kaavassa π(x) ei viitata lukuun π.)

Funktion π(n) ensimmäiset 60 lukua.

Historiaa

1700-luvulla löysivät Gauss ja Legendre että

$x/\operatorname {ln} (x)\!$

on hyvä approksimaatio alkulukufunktiolle; tarkemmin,

$\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\operatorname {ln} (x)}}=1.\!$

Tämä lauseke tunnetaan alkulukulauseena; se todistettiin 1800-luvun lopulla oikeaksi. Väite voidaan kirjoittaa yhtäpitävästi muodossa

$\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{\operatorname {li} (x)}}=1,$

jossa $\operatorname {li} (x)$on logaritminen integraalifunktio.

Littlewoodin lause

John Littlewood todisti 1914 että on olemassa mielivaltaisen suuria lukuja x, joille

$\pi (x)>\operatorname {li} (x)+{\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {x}}{\log x}}\log \log \log x$

ja mielivaltaisen suuria lukuja x, joille

$\pi (x)<\operatorname {li} (x)-{\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {x}}{\log x}}\log \log \log x.$

Tästä seuraa että erotuksen π(x) − li(x) merkki vaihtuu äärettömän usein.

Riemannin hypoteesi

Riemannin hypoteesi on ekvivalentti seuraavaan kaavaan:

$\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O({\sqrt {x}}\log {x}).$

Riemannin hypoteesi siis antaisi alkulukufunktion antamalle arviolle alkulukujen määrästä huomattavasti nykyistä tiukemmat virherajat.