Algebrallinen rakenne

Algebrassa algebrallisella rakenteella tarkoitetaan joukkoa tai joukkoja, jossa on määritelty yksi tai useampi "laskutoimitus"; tässä laskutoimitus on mikä tahansa sääntö, joka tuottaa annetuista joukon alkioista tuloksen. Joukko voi olla esimerkiksi merkkijonot ja laskutoimitus niiden yhdistäminen.

Algebrallinen rakenne voidaan nähdä uutena abstraktion tasona. Esimerkiksi yhteen- ja kertolasku ovat vaihdannaisia ja nollan lisääminen ja ykkösellä kertominen ovat selvästi samankaltaisia asioita. Nämä ominaisuudet voidaan kuvata abstraktina laskutoimituksena $\circ$, jolla pätee $x\circ y=y\circ x$ ja on olemassa sellainen $e$ että $e\circ x=x\circ e=x$.

Johdatteleva esimerkki

Käytämme esimerkkinä permutaatioita. Kolmen alkion jono voidaan (uudelleen)järjestää eli permutoida kuudella eri tavalla: on kolme tapaa vaihtaa keskenään kaksi alkiota, voidaan kiertää jonoa eteen- tai taaksepäin, ja kuudes tapa on olla tekemättä mitään. Permutaatioita voidaan yhdistää. Jos ensin tehdään permutaatio "vaihda 1. ja 2. alkio" ja sitten "kierros eteenpäin", päädytään tulokseen "vaihda 1. ja 3. alkio". Merkitsemme tämän näin:

${\binom {123}{213}}\circ {\binom {123}{312}}={\binom {123}{321}}$

Vertaamme sitten kokonaislukujen yhteenlaskua ja permutaatioiden yhdistämistä. Nämä ovat selvästi erilaisia, koska esimerkiksi permutaatioita on äärellinen määrä, kokonaislukuja äärettömästi. Yhteisiä piirteitä löytyy.

Ominaisuus	Kokonaisluvut	Permutaatiot
Määritelty ja suljettu	Kokonaislukujen summa on aina kokonaisluku.	Permutaatioita yhdistämällä päädytään permutaatioon.
Liitännäinen	Aina $(a+b)+c=a+(b+c)$.	Jos t, u ja v ovat permutaatioita, niin $(t\circ u)\circ v=t\circ (u\circ v)$.
Nolla-alkio	Luku nolla: $a+0=0+a=a$	Permutaatio ${\binom {123}{123}}$ eli "älä tee mitään" -permutaatio.
Käänteisalkio	Jokaisella luvulla on vastaluku, esimerkiksi $3+(-3)=(-3)+3=0$	Käänteispermutaatio on helppo muodostaa, esimerkiksi ${\binom {123}{312}}$ ja ${\binom {123}{231}}$ yhdistettynä ovat nollapermutaatio.

Edellä olevat neljä ominaisuutta määrittelevät algebrallisen rakenteen nimeltä ryhmä.

Tutkimme vielä malliksi miten aidosti kasvavat, kaikilla reaaliluvuilla määritellyt ja kaikki reaaliarvot saavat funktiot ovat ryhmä, kun laskutoimitukseksi otetaan funktioiden yhdistäminen.

• Yhdistämällä kaksi funktiota päädytään uuteen funktioon, joka sekin on aidosti kasvava ja saa kaikki reaaliarvot.
• Funktioiden yhdistäminen on suoraan määritelmänsä mukaan liitännäinen.
• Nolla-alkio $i$ on funktio, joka palauttaa argumenttinsa: $i(x)=x$.
• Tällaisilla funktioilla on aina käänteisfunktio, vaikkei sitä aina voikaan esittää yksinkertaisella kaavalla.

Ryhmiä voidaan muodostaa paljon muitakin. Esimerkiksi kääntyvät $n\times n$ -matriisit ovat ryhmä, kun laskutoimitukseksi otetaan matriisitulo.

Abstraktin algebran ideana on johtaa lauseita pelkästään näin määritellyistä ominaisuuksista.

Voidaan esimerkiksi todistaa, että ryhmässä on määriteltävissä käänteislaskutoimitukset, toisella tavalla sanoen yhtälöille on yksikäsitteinen ratkaisu. Kokonaislukujen yhteenlaskun suhteen se on tietysti vähennyslasku: yhtälöillä $3+x=5$ ja $x+3=5$ on kokonaislukuratkaisu, ja yhtälön ratkaisua kutsutaan vähennyslaskuksi. Vastaavasti jos $t$ ja $u$ ovat permutaatioita, on yhtälöille $t\circ x=u$ ja $x\circ t=u$ olemassa yksikäsitteiset (mutta ei yleensä samat) ratkaisut.

Kaikilla ryhmillä pätee myös supistussääntö: jos $\times$ on ryhmän laskutoimitus, niin yhtälöt $a\times x=a\times y$ ja $x\times a=y\times a$ supistuvat muotoon $x=y$.

Algebralliset rakenteet yleistyksenä

Jotkut algebralliset rakenteet voi nähdä yleistyksenä tutuista rakenteista. Esimerkiksi rengas yleistää kokonaislukujen joukon, yhteenlaskun ja kertolaskun muodostaman rakenteen.

Tällainen yleistys on aina luonteeltaan varsin abstrakti. Esimerkiksi tason 2-ulotteiset vektorit ja tilan 3-ulotteiset vektorit on helppo yleistää 4-, 5- jne. ulotteisiksi vektoreiksi. Abstrakti yleistys on vektoriavaruus, jossa on kaksi joukkoa, kaksi laskutoimitusta ja tietyt rajoitukset näille laskutoimituksille. Tavallisissa tasovektoreissa toinen joukko on tason pisteiksi ajateltavat vektorit ja toinen reaaliluvut, laskutoimitukset ovat vektorien summa ja vektorin ja reaaliluvun tulo.

Rakenteiden luokittelusta

Osa rakenteista voidaan nähdä luokkien hierarkiana, jossa jokainen lisäehto laskutoimituksille määrittää aliluokan. Näin saadaan esimerkiksi hierarkia magma ⊃ kvasiryhmä ⊃ luuppi ⊃ ryhmä.

Voidaan luoda periaatteessa mielivaltaisen monta rakennetta esittämällä laskutoimitukselle tai -toimituksille mielivaltaisia ehtoja. Nimi on annettu yleensä enemmän käytetyille rakenteille. Esimerkiksi joukolle, jossa on liitännäinen laskutoimitus, on nimi puoliryhmä, joukolle jossa on vaihdannainen laskutoimitus ei ole erityistä nimeä.

Alirakenne, isomorfismi ja homomorfismi

Algebrallisen rakenteen laskutoimituksen tai -toimitusten suhteen suljettu osajoukko on alirakenne. Esimerkiksi parilliset kokonaisluvut ja yhteenlasku ovat aliryhmä kaikkien kokonaislukujen ja yhteenlaskun ryhmästä, koska parillisten lukujen summa on aina parillinen. Vastaava pätee yleisesti millä tahansa luvulla jaollisiin lukuihin. Vektoriavaruuksista yksinkertaisin esimerkki on tavallisen kolmiulotteisen avaruuden kaksiulotteiset tasot.

Jos kaksi rakennetta ovat abstraktisti täysin samanlaiset, niitä kutsutaan isomorfisiksi. Tyyppiesimerkkinä tästä käytetään kahta ryhmää, joista toinen on reaaliluvut ja yhteenlasku, toinen positiiviset reaaliluvut ja kertolasku. Eksponenttifunktio liittää ryhmät toisiinsa: jos vaihdetaan jokainen luku $x$ luvuksi $10^{x}$ ja yhteenlasku kertolaskuksi, näyttää tulos muodoltaan samanlaiselta taulukolta. Ääriesimerkki isomorfismista on äärelliset kunnat: jokainen määrätyn kokoinen äärellinen kunta on täsmälleen samanlainen, vaikka se voidaankin muodollisesti esittää eri merkintätavoin.

Isomorfismin heikompi muoto on homomorfismi. Isomorfismi on aina bijektio, homomorfismi kuvaa mahdollisesti useampia alkioita samaksi. Homomorfismissa rakenteen sisältä löytyy joukko, joka vastaa toisen rakenteen alkioita mahdollisesti tietyllä tavalla ryhmiteltynä.

Esimerkkejä algebrallisista rakenteista

Yksi joukko, yksi laskutoimitus

• magma eli grupoidi, jossa edellytetään vain, että jokin joukon sisäinen laskutoimitus on olemassa;
• puoliryhmä, jossa lisäksi edellytetään, että laskutoimitus on liitännäinen;
• monoidi, jossa laskutoimitus on liitännäinen ja siihen liittyy neutraalialkio (nolla-alkio);
• ryhmä, jossa lisäksi edellytetään, että jokaisella alkiolla on vasta-alkio;
• Abelin ryhmä, ryhmä, jossa on voimassa myös vaihdantalaki;
• kvasiryhmä, magma jossa jokaiselle yhtälölle löytyy joukon sisältä ratkaisu;
• luuppi, jossa edellisen lisäksi on nolla-alkio.

Yksi joukko, kaksi laskutoimitusta

• rengas, jossa on kaksi laskutoimitusta, yhteen- ja kertolasku, joista toisen suhteen rengas on Abelin ryhmä ja jotka sitoo toisiinsa osittelulaki
• puolirengas, jossa myös on kaksi laskutoimitusta, mutta yhteenlaskun suhteen ei jokaisella alkiolla tarvitse olla vasta-alkiota
• kokonaisalue, rengas, jossa ei ole nollanjakajia
• kunta, rengas, jossa jokaisella alkiolla nollaa lukuun ottamatta on myös kertolaskun suhteen olemassa käänteisalkio.

Esimerkiksi luonnolliset luvut muodostavat monoidin, jossa laskutoimituksena on yhteenlasku. Kokonaisluvut muodostavat yhteenlaskun suhteen ryhmän ja samalla renkaan ja kokonaisalueen, jossa laskutoimituksina ovat yhteen- ja kertolasku. Rationaaliluvut muodostavat kunnan, joka on laajemman reaalilukujen kunnan alikunta. Mutta algebrallisten rakenteiden alkiot eivät välttämättä ole lukuja, vaan esimerkiksi ryhmän alkiot voivat olla myös jossakin joukossa määriteltyjä, tietyt ehdot täyttäviä kuvauksia, jolloin laskutoimituksena on kuvausten yhdistäminen.

Kaksi joukkoa, kaksi laskutoimitusta

• vektoriavaruus

Kirjallisuutta

• Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0