Affiinimuunnos

Lineaarialgebrassa affiinimuunnos kuvaa lähdevektoriavaruuden kohdevektoriavaruuteen. Affiinimuunnos on määritelty

$f:\mathbb {R} ^{N}\to \mathbb {R} ^{N},\mathbf {y} =\mathbf {A} \mathbf {x} +\mathbf {b}$,

missä $\mathbf {A}$ on lineaarikuvaus, $x$ kuvattava vektori ja $\mathbf {b}$ siirtymä.

Yleisesti ottaen matriisi $\mathbf {A}$ määrää kierron, skaalauksen ja peilauksen se voidaan esittää muodossa:

$\mathbf {A} =\mathbf {A} _{scale}\mathbf {A} _{rot}\mathbf {A} _{mirror}$,

missä $\mathbf {A} _{scale}$ on skaalausmatriisi, $\mathbf {A} _{rot}$ on kiertomatriisi ja $\mathbf {A} _{mirror}$ on peilausmatriisi. Skaalausmatriisi on lävistäjämatriisi.

Affiinimuunnoksen ominaisuuksia:

1. samalla suoralla olevat pisteet kuvautuvat samalle suoralle
2. samalla suoralla olevien pisteiden suhteelliset etäisyydet säilyvät kuvauksessa

Esimerkki affiinimuunnoksesta

Kierretään pistettä $(x_{0},y_{0})$ $\theta$ astetta kaksiulotteisen koordinaatiston origon ympäri. Esitetään piste vektorina $\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{bmatrix}}$. Koska muunnos koostuu vain kierto-operaatiosta, muunnosmatriisi ja siirtovektori ovat

$\mathbf {A} =\mathbf {A} _{rot}$

$\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}$,

koska $\mathbf {A} _{scale}=\mathbf {I}$ ja $\mathbf {A} _{mirror}=\mathbf {I}$. Näin ollen muunnokseksi saadaan

${\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}$

ja kierretyn pisteen koordinaateiksi saadaan matriisin kertolaskusääntöä käyttäen

${\begin{cases}x_{1}=x_{0}\cos \theta +y_{0}\sin \theta \\y_{1}=-x_{0}\sin \theta +y_{0}\cos \theta \end{cases}}$

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus. Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry, 2015. ISBN 978-952-7010-12-9