Äärellinen topologinen avaruus

Äärellinen topologinen avaruus on äärelliseen joukkoon määritelty topologia. Topologiaa on kehitetty lähinnä äärettömiin joukkoihin, mutta äärelliset topologiat voivat olla esimerkiksi yksinkertaisia havainnollistuksia joissakin tilanteissa.

Äärellisen joukon topologia voidaan määritellä yleistä topologiaa yksinkertaisemmin. Joukon X potenssijoukon P(X) osajoukko τ on topologia, jos

1. ∅ ∈ τ ja X ∈ τ
2. jos U ∈ τ ja V ∈ τ, niin U ∪ V ∈ τ
3. jos U ∈ τ ja V ∈ τ, niin U ∩ V ∈ τ

Äärellisen joukon kaikki topologiat muodostavat hilan.

Esimerkkejä

Tyhjä ja yhden pisteen joukko

Tyhjällä joukolla ∅ on vain yksi topologia, jonka ainoa avoin joukko on tyhjä joukko.

Myös yhden pisteen joukolla on vain yksi topologia. Siinä avoimet joukot ovat tyhjä joukko ja ainoan alkion sisältävä joukko.

Kaksi pistettä

Joukolla {a,b} on neljä topologiaa.

1. {∅, {a,b}} (minimitopologia)
2. {∅, {a}, {a,b}}
3. {∅, {b}, {a,b}}
4. {∅, {a}, {b}, {a,b}} (diskreetti topologia)

Aidosti erilaisia topologioita on kolme, koska edellä olevista toinen ja kolmas ovat selvästi keskenään homeomorfisia. Näiden kanssa homeomorfinen topologia on nimeltään Sierpińskin avaruus.

Kolme pistettä

Kolmen pisteen joukossa {a,b,c} on 29 erilaista topologiaa, mutta vain 9 näistä on keskenään ei-homeomorfista.

1. {∅, {a,b,c}} (minimitopologia)
2. {∅, {c}, {a,b,c}}
3. {∅, {a,b}, {a,b,c}}
4. {∅, {c}, {a,b}, {a,b,c}}
5. {∅, {c}, {b,c}, {a,b,c}}
6. {∅, {c}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}
7. {∅, {a}, {b}, {a,b}, {a,b,c}}
8. {∅, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {a,b,c}}
9. {∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}} (diskreetti topologia)

Viimeiset viisi näistä ovat $T_{0}$-avaruuksia. Minimitopologiassa 1 ja topologioissa 2, 3 ja 4 pisteet a ja b eivät ole topologisesti erottuvia.

Topologisia ominaisuuksia

Äärellinen topologinen avaruus on selvästi kompakti, koska jokainen avoin peite on äärellinen. Samoin jokainen äärellinen topologinen avaruus on $N_{2}$.

Erotteluaksioomat

Äärellinen topologinen avaruus on $T_{1}$ vain, jos se on diskreetti. Jokaisen pisteen komplementti on äärellinen unioni suljetuista pisteistä ja siis suljettu, joten jokaisen pisteen on oltava avoin.

Näin ollen mikään diskreettiä avaruutta karkeampi topologinen avaruus ei voi olla $T_{1}$, $T_{2}$ eli Hausdorff tai toteuttaa mitään ylempää erotteluaksioomaa.

Äärellisten topologioiden lukumäärä

Yksinkertaista kaavaa erilaisten topologioiden lukumäärälle ei tunneta. Alla oleva taulukko on kopio OEIS-sarjoista.

Topologioiden lukumäärä n pisteen joukossa

n	Eri topologioita	Eri T0-topologioita	Ei-homeomorfisia topologioita	Ei-homeomorfisia T0-topologioita
0	1	1	1	1
1	1	1	1	1
2	4	3	3	2
3	29	19	9	5
4	355	219	33	16
5	6942	4231	139	63
6	209527	130023	718	318
7	9535241	6129859	4535	2045
8	642779354	431723379	35979	16999
9	63260289423	44511042511	363083	183231
10	8977053873043	6611065248783	4717687	2567284
OEIS	A000798	A001035	A001930	A000112

Kirjallisuutta

• Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. (15) Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7