Kolmiomatriisi

Lineaarialgebrassa kolmiomatriisi on neliömatriisin erikoistapaus. Kolmiomatriisin päälävistäjän ylä- tai alapuolella olevat alkiot ovat kaikki nollia.

Koska matriisiyhtälöt ovat kolmiomatriisien tapauksessa helppo ratkaista, ne ovat käyttökelpoisia numeerisessa analyysissä. LU-hajotelma antaa algoritmin, jolla jokainen kääntyvä matriisi A voidaan hajottaa alakolmiomatriisin L ja yläkolmiomatriisin U tuloksi.

Määritelmä

Matriisia

$\mathbf {L} ={\begin{bmatrix}l_{1,1}&&&&0\\l_{2,1}&l_{2,2}&&&\\l_{3,1}&l_{3,2}&\ddots &&\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\\l_{n,1}&l_{n,2}&\ldots &l_{n,n-1}&l_{n,n}\end{bmatrix}}$

sanotaan alakolmiomatriisiksi eli vasemmaksi kolmiomatriisiksi, ja toisaalta matriisia muotoa

$\mathbf {U} ={\begin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&\ldots &u_{1,n}\\&u_{2,2}&u_{2,3}&\ldots &u_{2,n}\\&&\ddots &\ddots &\vdots \\&&&\ddots &u_{n-1,n}\\0&&&&u_{n,n}\end{bmatrix}}$

sanotaan yläkolmiomatriisiksi tai oikeaksi kolmiomatriisiksi.

Kolmiomatriisi, jonka päälävistäjän alkiot ovat nollia, on vahvasti ala-tai yläkolmiomatriiseja. Kaikki kolmiomatriisit ovat nilpotentteja matriiseja.

Jos kolmiomatriisin päälävistäjän alkiot ovat kaikki ykkösiä, on matriisi yksikköylä/alakolmiomatriisi eli normitettu ylä/alakolmiomatriisi. Jos lisäksi kaikki muut kuin lävistäjäalkiot ovat yhtä lukuun ottamatta nollia, on matriisi atominen ylä/alakolmiomatriisi. Tätä matriisia sanotaan Gaussin muunnosmatriisiksi tai lyhyemmin Gaussin matriisiksi. Atominen alakolmiomatriisi on muotoa

$\mathbf {L} _{i}={\begin{bmatrix}1&&&&&0\\&\ddots &&&&\\&&1&&&\\&&l_{i+1,i}&\ddots &&\\&&\vdots &&\ddots &\\0&&l_{n,i}&&&1\\\end{bmatrix}}.$

Atomisen kolmiomatriisin käänteismatriisi on atominen kolmiomatriisi. Tarkemmin,

$\mathbf {L} _{i}^{-1}={\begin{bmatrix}1&&&&&0\\&\ddots &&&&\\&&1&&&\\&&-l_{i+1,i}&\ddots &&\\&&\vdots &&\ddots &\\0&&-l_{n,i}&&&1\\\end{bmatrix}},$

eli käänteismatriisin ne alkiot, jotka eivät ole päälävistäjällä, ovat alkuperäisen matriisin vastalukuja.