Wienin siirtymälaki

Mustan kappaleen säteilyn aallonpituusjakauma eri lämpötiloissa.

Wienin siirtymälaki on fysiikan laki, jonka mukaan mustan kappaleen säteilyn spektrin huippua vastaava aallonpituus $\lambda _{\mathrm {max} }$ on kääntäen verrannollinen kappaleen lämpötilaan:

$$\lambda _{\mathrm {max} }={\frac {b}{T}},$$

missä $T$ on kappaleen lämpötila kelvineinä (K) ja $\lambda _{\mathrm {max} }$ on spektrin huippua vastaava aallonpituus metreinä. Verrannollisuuskerroin b = 0,002898 m K on luonnonvakio, joka voidaan esittää myös muodossa 0,29 cm K.

Wienin siirtymälain johti teoreettisesti Wilhelm Wien vuonna 1894. Wien tarkasteli mustan kappaleen tilavuuden adiabaattista muutosta ja päätteli, että säteilyn spektraalisen energiatiheyden täytyy olla muotoa $$u_{\nu }(\nu ,T)=\nu ^{3}f(\nu /T),$$ missä f on universaali, järjestelmän ominaisuuksista riippumaton funktio. Tämä tulos on Wienin siirtymälain vahva muoto. Heikko muoto on spektrihuipun aallonpituuden lämpötilariippuvuutta koskeva laki, joka voidaan johtaa vahvasta muodosta. Wienin siirtymälaki voidaan johtaa Planckin säteilylaista.

Siirtymälain pohjalta Wilhelm Wien esitti 1896, että mustan kappaleen säteily noudattaa Wienin säteilylakina tunnettua muotoa, joka voidaan nykyaikaisin merkinnöin kirjoittaa muodossa

$$u_{\nu }(T)={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}e^{-{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}}.$$

Tämä laki vastaa Planckin lain mukaista todellista jakaumaa korkeilla taajuuksilla.

Esimerkkejä

Tähden väri riippuu Wienin lain mukaisesti sen lämpötilasta. Sen vuoksi Orionin tähdistössä Betelgeuse (T ≈ 3000 K, kuvassa ylävasemmalla) näyttää selvästi punaiselta, Rigel (T = 12000 K, alaoikealla) sen sijaan sinertävältä, Bellatrix (T = 22000 K, yläoikealla) ja Mintaka (T = 31800 K, oikeanpuoleisin Orionin vyön tähdistä) vielä selvemmin sinisiltä.

Periaatteessa mitä kuumempi kappale on, sitä lyhyempi on aallonpituus, jolla se lähettää eniten säteilyä. Esimerkiksi Auringon pintalämpötila on 5780 K, jolloin huippu on noin 500 nm:n kohdalla. Tämä aallonpituus on lähellä näkyvän valon spektrin keskialuetta. Koska säteilyn spektri on huipun ympäristössä melko laakea, auringon säteilemän valon spektri on koko silmälle näkyvän valon alueella melko tasainen, ja auringon valo on siksi valkoista. (Valon kulkiessa ilmakehän läpi siitä kuitenkin siroaa pois sinistä valoa, minkä vuoksi suoraan auringosta tuleva valo on kellertävää ja ilmakehästä päivällä siroava auringon valo värjää taivaan siniseksi.)

Hehkulampussa on hehkuva lanka, jonka lämpötila on Auringon pintalämpötilaa huomattavasti matalampi. Siksi hehkulampun säteilyssä on enemmän pitkäaaltoista punaista valoa kuin lyhytaaltoista sinistä valoa ja lampun valo vaikuttaa keltaiselta. Jos hehkulangan lämpötilaa edelleen lasketaan, säteilyn painopiste siirtyy yhä enemmän punaista kohti. Samoin käy hiilloksen hiipuessa.

Huoneenlämmössä olevan kappaleen lähettämä lämpösäteily on käytännöllisesti katsoen kokonaan näkymätöntä infrapunasäteilyä, jonka aallonpituus on suurempi kuin näkyvän valon. Mutta kun metallikappaletta tarpeeksi kuumennetaan esimerkiksi puhalluslampun avulla, se tulee ensin punahehkuiseksi, koska punainen vastaa näkyvän valon pitkäaaltoisinta osuutta. Kappaletta edelleen kuumennettaessa sen lähettämä valo muuttuu oranssinpunaiseksi, ja hyvin korkeissa lämpötiloissa kappale tulee valkohehkuiseksi, kun se alkaa lähettää kaikkia näkyvän valon taajuuksia. Mutta vaikka infrapunasäteily onkin näkymätöntä, jo ennen punahehkua sen voi aistia sen lämmittävän vaikutuksen vuoksi.

Kaikissa tähdissä aallonpituusjakauman huippu ei kuitenkaan ole näkyvän valon alueella. Esimerkiksi Orionin tähdistössä sijaitsevan kuuman superjättiläisen Rigenin säteilystä 60 % on ultraviolettia, kun taas samassa tähdistössä olevan viileän jättiläistähden Betelgeusen säteilystä 85 % on infrapunaista. Silti nämä molemmat lähettävät näkyvääkin valoa niin paljon, että ne kuuluvat taivaan kirkkaimpiin. Sinertävä Rigel (T = 12100 K) eroaa kuitenkin väriltään selvästi punaisesta Betelgeusesta (T ≈ 3300 K).

Vain harvat tähdet ovat yhtä kuumia kuin Rigel, mutta varsin monien tähtien lämpötila on samaa luokkaa kuin Betelgeusen ja siis selvästi alempi kuin Auringon. Värinsä ja siten lämpötilansa perusteella tähdet jaetaan spektriluokkiin.

Ihmisen ihon lämpötila on noin 310 K, joten sen lämpösäteilyn aallonpituus on noin 10 μm, kaukana näkyvän valon alueen ulkopuolella. Sen vuoksi ihmisten jäljittämiseen käytettyjen lämpökameroiden on oltava herkkiä tämän aallonpituusalueen infrapunasäteilylle.

Johto Planckin laista

Wienin siirtymälaki voidaan johtaa Planckin laista, jonka avulla voidaan myös johtaa arvo Wienin laissa olevalle kertoimelle b. Tavallisesti säteilytehon jakauma ilmaistaan aallonpituuden funktiona. Tällöin Planckin lain mukaan lämpötilassa T olevan mustan kappaleen lähettämä säteilyteho säteilevää pinta-ala-, avaruuskulma- ja aallonpituusyksikköä kohti aallonpituuden ${\lambda }$ kohdalla on

$u_{\lambda }(\lambda ,T)={2hc^{2} \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1}$,

missä h on Planckin vakio, c valonnopeus ja k Boltzmannin vakio.

Tämä saa suurimman arvonsa kohdassa, jossa tämän funktion derivaatta on nolla. Täten saadaan:

${\partial u \over \partial \lambda }=2hc^{2}\left({hc \over kT\lambda ^{7}}{e^{hc/\lambda kT} \over \left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)^{2}}-{1 \over \lambda ^{6}}{5 \over e^{hc/\lambda kT}-1}\right)=0,$

mikä voidaan yksinkertaistaa muotoon

${hc \over \lambda kT}{e^{hc/\lambda kT} \over e^{hc/\lambda kT}-1}-5=0.$

Määrittelemällä

$x\equiv {hc \over \lambda kT},$

tästä saadaan yhden muuttujan x yhtälö

${xe^{x} \over e^{x}-1}-5=0.$

joka on yhtäpitävä yhtälön

$x=5(1-e^{-x})\,.$

kanssa.

Yhtälön ratkaisu on

$x=5+W_{0}(-5e^{-5})$

missä $W_{0}$ on Lambertin W-funktion päähaara, ja sen arvoksi saadaan x = 4,965114231744276303.... . Kun tästä ratkaistaan aallonppituus λ millimetreinä ja lämpötila ilmaistaan kelvineinä, saadaan:

$\lambda _{peak}={\frac {hc}{xkT}}=2.897771955185172661$ μmK/T.

Parameterisointi taajuuden mukaan

Edellä säteilyn jakauma on parametroitu aallonpituuden mukaan. Yhtä hyvin se voidaan kuitenkin parametroida myös taajuuden mukaan. Tällöin Planckin laki on esitettävä muodossa, joka esittää säteilytehon taajuuden ν funktiona:

$u_{\nu }(\nu ,T)={2h\nu ^{3} \over c^{2}}{1 \over e^{h\nu /kT}-1}.$

Samaan tapaan kuin edellä tästä saadaan:

$-{h\nu \over kT}{e^{h\nu /kT} \over e^{h\nu /kT}-1}+3=0.$

ja lopulta

$x=3(1-e^{-x})\,.$

Tämäkin voidaan samaan tapaan kuin edellä ratkaista Lambertin W-funktion avulla: Muuttujan x arvoksi saadaan

$x=3+W_{0}(-3e^{-3})$

eli x = 2.821439372122078893...

Kun tästä ratkaistaan taajuus ν, saadaan:

$\nu _{peak}={\frac {xkt}{h}}=0.05878925757646824946$ THz/K.

Maksimikohdan riippuvuus parametroinnista

On huomattava, että samassakin lämpötilassa säteilytehon maksimikohdalle saadaan kaksi eri tulosta riippuen siitä, parametroidaanko säteily taajuuden vai aallonpituuden mukaan.

Esimerkiksi lämpötilassa T = 6000 K saadaan aallonpituuden mukaan parametroitaessa maksimikohdaksi aallonpituus λ = 482.962 nm, jota vastaava taajuus ($\nu ={\frac {c}{\lambda }}$ on ν = 620,737 THz}}. Samassa lämpötilassa saadaan kuitenkin taajuuden mukaan parametrisoitaessa maksimikohdaksi aallonpituus 352,735 THz, jota vastaava aallonpituus on 849,907 nm.

Selitys tähän näennäiseen ristiriitaan on, että Planckin lain mukaiset funktiot ovat säteilyn tiheysfunktioita, jotka on skaalattu niin, että tulokset saadaan radianssin yksikköinä. Nämä tiheysfunktiot voivat olla eri muotoisia eri parametrisoinneilla, mikä riippuu siitä, minkä verran kaavio mistäkin kohdasta venyy tai kutistuu siirryttäessä parametroinnista toiseen. Koska säteilyn taajuus ja aallonpituus ovat toisiinsa kääntäen verrannollisia, ei yhtä suurta aallonpituuden muutosta vastaa kaikilla aallonpituuksilla yhtä suuri taajuuden muutos.

Kappaleen kokonaisradianssi on jakauman integraali kaikkien positiivisten arvojen yli, ja se on samassa lämpötilassa yhtä suuri kaikilla parametroinneilla. Lisäksi samassa lämpötilassa sellaisten fotonien lukumäärä, joiden aallonpituus on jollakin tietyllä välillä, on parametroinnista riippumaton. Tämä merkitsee, että aallonpituuden mukaan parametroidun jakauman integraali aallonpituuden arvosta λ₁ arvoon λ₂ on yhtä suuri kuin taajuuden mukaan parametroidun jakauman integraali taajuuden arvosta ν₁ = c / λ₁ arvoon ν₂ = c / λ₂. Jakauman muoto kuitenkin riippuu parametroinnista, ja kuten edellä olevat laskelmat osoittavat, myös jakauman huippukohta riippuu käytetystä parametroinnista.

Yhtälön $x=4(1-e^{-x})$ määrittämää implisiittifunktiota käyttämällä saadaan säteilyn jakauma, kun parametrina käytetään radianssia suhteellista kaistanleveyttä kohti. (Tällaisen taajuuskaistan leveys on verrannollinen taajuuteen itseensä, ja tämä vastaa sitä, että taajuuden taajuuden ν tai aallonpituuden λ sijasta säteilyteho esitetäänkin jommankumman logaritmien $\ln {\nu ;}$ tai $\ln {\lambda }$ funktiona. Tämä onkin mahdollisesti luonnollisin tapa esittää säteilyn jakauman maksimikohta. Jos näin menetellään, edellä esitettyjen laskujen muuttujaa x vastaava arvo on x = 3.920690394872886343...

Oleellista Wienin laissa kuitenkin on, että parametroitiinpa säteilyteho aallonpituuden, taajuuden tai minkä tahansa niistä riippuvan tekijän suhteen tahansa, säteilyn aallonpituuden mediaani on kääntäen verrannollinen lämpötilaan.

Katso myös

• Stefanin–Boltzmannin laki

Aiheesta muualla

• Heli Honkonen: Mustan kappaleen säteily opetuksessa, Pro gradu -tutkielma Fysiikan opettajan suuntautumisvaihtoehto, Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos, 5.9.2012 (pdf)