Laajennettu kompleksitaso

Laajennettu kompleksitaso (${\overline {\mathbb {C} }}$) on kompleksilukujen joukko, johon on lisätty yksi piste, äärettömyyspiste ($\infty$). Tämän pisteen ajatellaan olevan äärettömän kaukana missä suunnassa tahansa.

Laajennetulle tasolle määritellään topologia, jonka kannan muodostavat kompleksitason avoimet kiekot sekä sellaiset joukot, joihin kuuluvat äärettömyyspiste sekä kaikki kompleksiluvut, joiden itseisarvo on jotakin vakiota suurempi, eli muotoa

$\{z\in {\mathbb {C} }||z-z_{0}|<r\}$ tai

$\{\infty \}\cup \{z\in {\mathbb {C} }||z|>=r\}$

olevat joukot. Tällöin laajennettu taso on topologisena avaruutena kompakti.

Laajennettu taso voidaan kuvata stereografisella projektiolla homeomorfisesti Riemannin pallolle. Laajennettu taso on esimerkki topologisesta Aleksandrovin kompaktisoinnista eli yhden pisteen kompaktisoinnista.

Laajennettua kompleksitasoa käytetään funktioteoriassa yleisesti funktioiden määrittelyjoukkona.

Lähteet

• Olli Lehto: Funktioteoria I–II, s. 11–12, Limes r.y. 1985, ISBN 951-745-077-X

Kirjallisuutta

• Spiegel, Murray R.; Lipschutz, Seymour; Schiller, John J.; Spellman, Dennis: Complex Variables. (Shaum's Outline Series) McGraw-Hill Book Company, 2009 (1964).
• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.