Keskustelu:Differentiaaliyhtälö

Onko ensimmäinen esimerkkiyhtälö $y'=\sin x$ todella lineaarinen? Eli onko $\alpha y_{1}+\beta y_{2}$ ratkaisu jos $y_{1}$ ja $y_{2}$ ovat? 82.181.81.64 1. tammikuuta 2022 kello 10.12 (EET)

On lineaarinen, mutta pitää ymmärtää mitä se tarkoittaa. D-yhtälö on lineaarinen kun siinä on tuntemattoman funktion $y(x)$ ja sen derivaattojen lineaariyhdistely (missä kertoimet saavat olla tunnettuja $x$:n funktioita) merkitty yhtäsuureksi jonkun tunnetun funktion kanssa. Siitä ei kuitenkaan seuraa esittämäsi ominaisuus, että ratkaisujen lineaariyhdistelyt olisivat ratkaisuja. Siihen tarvittaisiin vielä homogeenisuus (yhtälön oikea puoli olisi nolla, mitä se ei tässä ole). Yksinkertaisempi esimerkki on vaikka lineaarinen (ja epähomogeeninen) d-yhtälö $y'(x)=1$, jolla on ratkaisut $y(x)=x+c$; eihän siinäkään päde ratkaisujen lineaariyhdistely, sillä esim. $x$ on eräs ratkaisu mutta $2x$ ei ole. --Jmk (keskustelu) 1. tammikuuta 2022 kello 11.12 (EET)