Symmediaaninen piste

Symmediaaninen piste on symmediaanien (siniset) leikkauspisteessä. Piste sijaitsee vastakkaisella puolella kolmion painopistettä (vihreät linjat leikkaavat) kulmanpuolittajien leikkauspisteeseen nähden (katkoviivat leikkaavat).

Symmediaaninen piste (myös Lemoinen piste tai Greben piste ) on geometriassa kolmion kulmien symmediaanien leikkauspiste. Leikkauspiste on eräs kolmion merkillisestä pisteistä ja se on luetteloitu Kimberlingin pisteiden luetteloon tunnuksella $\scriptstyle X_{6}.$, mutta paljon käytetään myös tunnusta K.

• 
• 
• 

Sijainti kolmiossa

Trilineaariset koordinaatit

Pisteen trilineaariset koordinaatit ovat $a\,:\,b\,:\,c=\sin \alpha \,:\,\sin \beta \,:\,\sin \gamma$.

Barysentriset koordinaatit

Pisteen barysentriset koordinaatit ovat $a^{2}\,:\,b^{2}\,:\,c^{2}$.

Ominaisuuksia

• Keskijanojen eli mediaanien leikkauspistettä kutsutaan kolmion painopisteeksi G ($\scriptstyle X_{2}$). Symmediaanien leikkauspiste K sijaitsee leikkauspisteen I ($\scriptstyle X_{1}$) toisella puolella ja yhtä kaukana kuin painopiste. Tällöin ovat janat KI = IG. Pisteet K ja G ovat toistensa isogonaalisia konjugaatteja.
• Symmediaaninen piste on pisteen $\scriptstyle X_{76}$ isotominen konjugaatti.
• Symmediaaninen pisteen etäisyydet kolmion sivuista ovat sellaiset, että etäisyyksien neliösumma on pienin mahdollinen. Tällöin myös trilineaaristen koordinaattien neliösumma saa pienimmän arvonsa.
• Kolmion symmediaaninen piste on samalla symmediaanisen pisteen pedaalikolmion painopiste. Juuri tälle pedaalikolmiolle edellä mainittu neliösumma on pienin.
• Symmediaaninen piste sijaitsee Brocardin akselilla, missä ovat myös muun muassa kolmiota ympäröivän ympyrän keskipiste O ($\scriptstyle X_{3}$), 1. isodynaaminen piste S ($\scriptstyle X_{15}$), 2. isodynaaminen piste S' ($\scriptstyle X_{16}$), Brocardin keskipiste M_B ($\scriptstyle X_{39}$) ja noin 140 muuta merkillistä pistettä.

Historia

Symmediaaneja tutkittiin 1800-luvun lopulla muiden kulmanjakajien ohella. Saksalainen Ernst Grebe huomasi symmediaanien leikkaavan aina toisensa ja julkaisi tuloksen vuonna 1847. Merkillisen pisteen nimesi E. Hain vuonna 1875 Greben pisteeksi. Ranskalainen Emile Lemoine julkaisi joitakin tuloksia antiparalleelisten mediaanien eli symmediaanien ominaisuksita vuonna 1873. Vuonna 1884 J. Neuberg nimesi löydetyn merkillisen pisteen nimeksi Lemoinen pisteeksi. Vaikka pisteen nimenä onkin monissa kielissä Lemoine ja Grebe, tiedetään L'Huilier esitelleen sen jo 1809. Symmediaanin nimen otti käyttöön M. d'Ocagne 1883.

Aiheesta muualla

• O'Connor, J J & Robertson, E F: Émile Michel Hyacinthe Lemoine, University of St Andrews, Scotland
• Greitzer, Samuel L. : Lemoine, Émile Michel Hyacinthe, Encyclpedia.com