Kvantiili

Kvantiilit ovat satunnaismuuttujan kertymäfunktiolta säännöllisin välein poimittuja prosenttipisteitä. Jakamalla järjestetty aineisto q kappaleeseen yhtä suuria joukkoja saadaan q-kvantiili. Kvantiilit ovat aineiston arvoja luokkien rajalla. Näin ollen k:nnes kvantiili on sellainen arvo x, että todennäköisyys saada pienempi arvo kuin x on noin k/q. Empiirisessä työssä kvantiilit lasketaan aineiston kertymäfunktiosta.

Osalle kvantiileista on vakiintuneet nimet:

• 100-kvantiilit ovat persentiilejä, toiselta nimeltään fraktiileja
• 10-kvantiilit ovat desiilejä
• 5-kvantiilit ovat kvintiilejä
• 4-kvantiilit ovat kvartiileja
• 3-kvantiilit ovat tertiilejä tai tersiilejä

Yleisin käytetty kvantiili on mediaani. Se kertoo pisteen, joka jakaa aineiston puoliksi. Mediaani on 2. kvartiili, 5. desiili ja 50. persentiili. Toisinaan 1. kvartiilia kutsutaan alakvartiiliksi ja 3. kvartiilia yläkvartiiliksi.

Formaalisti k:nnes kvantiili $x_{N\cdot k/q}$ satunnaismuuttujalle X voidaan määritellä:

$P(X\leq x_{N\cdot p})\geq p$ ja $P(X\geq x_{N\cdot p})\geq 1-p,$ missä $p={\frac {k}{q}}$.

Toisaalta voidaan määritellä $\tau$-kvantiili osuutena, kun $\tau \in (0,1)$. Tällöin satunnaismuuttajan X $\tau$-kvantiili on:

$P(X\leq x)\geq \tau \$ ja $\ P(X\geq x)\geq 1-\tau .$

Vaihtoehtoisesti $\tau$-kvantiili voidaan määritellä kertymäfunktion F avulla:

$F_{X}(\tau )=\inf\{q|F_{X}(q)\geq \tau \}.$

Kvantiilivälit

Kvantiilien avulla voidaan muodostaa satunnaismuuttujan vaihtelua kuvaavia tunnuslukuja. Muuttujan vaihteluväli muodostuu aineiston minimistä ja maksimista. Kvartiileina ilmaistuna kyse on 0. kvartiilista ja 4. kvartiilista. Vaihteluvälin pituus on maksimin ja minimin erotus.

Toinen usein käytetty kvantiiliväli on kvartiiliväli. Sillä tarkoitetaan 1. kvartiilin ja 3. kvartiilin muodostamaan väliä. Kvartiilivälin pituus on 3. kvartiilin ja 1. kvartiilin erotus. Kvartiilipoikkeama on puolet kvartiilivälin pituudesta.