Affiinikuvaus

Affiini kuvaus on kuvaus kahden vektoriavaruuden välillä $\mathbf {f} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$. Kuvaus on muotoa

$\mathbf {f(x)=Ax+b} ~,~~\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ ja $\mathbf {A} \in \mathbb {R} ^{n\times n}$.

Kuvaus siis kuvaa pistejoukon uudelleen kääntäen, venyttäen, siirtäen joukon paikkaa tai skaalaten joukon kokoa. Kyseessä on pelkkä lineaarikuvaus siinä erikoistapauksessa, että $\mathbf {b}$ on nollavektori. Muissa tapauksissa koordinaatiston origo ei kuvaudu origoksi ja siten kuvaus eroaa lineaarikuvauksesta. Näin ollen affiinikuvaus on yhdistelmä lineaarikuvauksesta $\mathbf {A}$, joka määrää kierron, skaalauksen ja peilauksen jonkin suoran suhteen ja johon lisätään siirtovektori $\mathbf {b}$. Geometrisesti tämä vastaa kaikkia kuvauksia, jotka säilyttävät (hyper)tasot muunnoksessa.

Affiini kuvaus säilyttää tietyt geometriset ominaisuudet:

1. Kuvaa suoran suoraksi
2. Kuvaa yhdensuuntaiset suorat yhdensuuntaisiksi
3. Säilyttää janojen osien suhteet

Esimerkki affiinista kuvauksesta

Kierretään pistettä $(x_{0},y_{0})$ $\theta$ astetta kaksiulotteisen koordinaatiston origon ympäri. Esitetään piste vektorina $\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{bmatrix}}$. Koska muunnos koostuu vain kierto-operaatiosta, muunnosmatriisi ja siirtovektori ovat

$\mathbf {A} =\mathbf {A} _{rot}$

$\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}$,

koska $\mathbf {A} _{scale}=\mathbf {I}$ ja $\mathbf {A} _{mirror}=\mathbf {I}$. Näin ollen muunnokseksi saadaan

${\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}$

ja kierretyn pisteen koordinaateiksi saadaan matriisin kertolaskusääntöä käyttäen

${\begin{cases}x_{1}=x_{0}\cos \theta +y_{0}\sin \theta \\y_{1}=-x_{0}\sin \theta +y_{0}\cos \theta \end{cases}}$

Affiinin kuvauksen käyttö

Affiineja kuvauksia voidaan käyttää monella tapaa. Geometrisesti affiini kuvaus kuvaa tangentit tangenteiksi, ympyrät ellipseiksi, suunnikkaat suunnikkaiksi ja nelikulmiot nelikulmioiksi. Näitä tuloksia voidaan käyttää hyödyksi todistamaan ominaisuuksia esimerkiksi ellipsille. Tiedetään, että on olemassa sellainen affiini kuvaus, joka kuvaa ellipsin ympyrälle. Ympyrää voidaankin pitää erikoistapauksena ellipsistä. Tällöin voidaan todistaa ominaisuus helpommin ympyrälle ja yleistää tulos koskemaan kaikkia ellipsejä.

Esimerkki: Oletetaan, että ellipsin pisteisiin A ja B piirretyt tangentit leikkaavat pisteessä T. Osoitetaan, että pisteen T ja ellipsin keskipisteen O kautta piirretty suora puolittaa janan AB.

Todistus: Tiedetään, että on olemassa jokin affiini kuvaus f, joka kuvaa annetun ellipsin ympyräksi. Perustulosten mukaan tangentit kuvautuvat tangenteiksi, joten merkitään A’T’ ja B’T’ olemaan ympyrän tangentteja. Tästä seuraa, että saadaan yhteneviä kolmioita ja suora O’T’ puolittaa janan A’B’.

Aiemmin esitetyn lauseen nojalla affiini kuvaus säilyttää janojen jakosuhteet, joten suora OT puolittaa ellipsin janan AB.

Katso myös

• Lineaarikuvaus

Lähteet

• Martio, Olli: Vektorianalyysi. Helsinki: Limes ry, 2004.
• D. A. Brannan, M. F. Esplen ja J. J. Gray: Geometry. Cambridge: Cambridge University Press, 1999.